Black Scholes

\[\begin{equation} S(t) = S_{0} + \int_{0}^{t} \mu S(s)\ ds + \int_{0}^{t} \sigma S(s)\ dW_{s} \label{black_scholes_model_integral_form} \end{equation}\]

微分形でかくと

\[\begin{equation} d S(t) = \mu S(t) dt + \sigma S(t) dW_{t}, \quad S(0) = S_{0} \label{black_scholes_model_differential_form} \end{equation}\]

である。 ここで、$S(t)$は原資産で、$\mu, \sigma, S(0)$は定数で、$S(0), \sigma(0) > 0$とする。 $S(t)$は解析的にとけて、以下の解を持つ。

\[S(t) = S_{0} \exp \left( \left( \mu - \frac{\sigma^{2}}{2} \right) t + \sigma W_{t} \right)\]

call option

\[\begin{eqnarray} V_{BS}(0; S_{0}, K, r, T, \sigma) & := & \mathrm{E}^{Q} \left[ e^{-rT}(S(T) - K)^{+} \right] \nonumber \\ & = & S(0)N(d_{1}) - e^{-rT}KN(d_{2}) \end{eqnarray}\]

ここで、$N$は標準正規分布関数で、

\[\begin{eqnarray} d_{1} & := & \frac{ \ln\left(\frac{S(0)}{K} \right) + (r + \frac{1}{2}\sigma^{2})T }{ \sigma \sqrt{T} }, \\ d_{2} & := & \frac{ \ln\left(\frac{S(0)}{K} \right) + (r - \frac{1}{2}\sigma^{2})T }{ \sigma \sqrt{T} } \end{eqnarray}\]

である。 また、

\[\begin{eqnarray} d_{1} & = & \frac{ \ln\left(\frac{S(0)}{K} \right) + (r + \frac{1}{2}\sigma^{2})T }{ \sigma \sqrt{T} } \nonumber \\ & = & \frac{ \ln\left(\frac{S(0)}{K} \right) + (r - \frac{1}{2}\sigma^{2} + \sigma^{2})T }{ \sigma \sqrt{T} } \nonumber \\ & = & d_{2} + \sigma \sqrt{T} \label{d1_d2_relation} \end{eqnarray}\]

が成り立つ。

case1: strike is negative, underlying is positive

$K < 0, S_{0} > 0$とすると、$S(T) > 0$より

\[\begin{eqnarray*} \mathrm{E}^{Q} \left[ e^{-rT}(S(T) - K) \right] & = & S(0) - e^{-rT}K, \end{eqnarray*}\]

でforwardとなる。

case2: strike is positive, underlying is negative

$K > 0, S_{0} < 0$とすると、$S(T) < 0$より

\[V_{BS}(0; S_{0}, K, r, T, \sigma) = 0\]

case3: strike is negative, underlying is negative

$K < 0, S_{0} < 0$とすると、put-call parityより

\[(S(T) - K)^{+} = (S(T) - K) + (-(S(T) - K))^{+}\]

である。 よって、

\[\begin{eqnarray} V_{BS}(0; S_{0}, K, r, T, \sigma) & = & \mathrm{E}^{Q} \left[ e^{-rT} \left( (S(T) - K) + (-(S(T) - K))^{+} \right) \right] \nonumber \\ & = & (S_{0} - e^{-rT}K) + \mathrm{E}^{Q} \left[ e^{-rT} (-(S(T) - K))^{+} \right] \end{eqnarray}\]

となって、第二項はunderlying, strikeが正のcall optionの価格と等しくなる。 put optionをput-call parityで計算する場合は、実装上の循環呼び出しを避けるため重要となる。

case4: option is expired

$T < 0$のときは、optionがexpiryしていると考えると以下の定義が妥当。

\[V_{BS}(0; S_{0}, K, r, T, \sigma) = 0\]

case5: negative volatility

$\sigma < 0$のときは、未定義が妥当。 volatilityは一般には負にはならない。

case6: underlying is 0

$S_{0} = 0$のときは、$\forall t, S(t) = 0$なので、

\[V_{BS}(0; S_{0}, K, r, T, \sigma) = e^{-rT} \max(-K, 0.0)\]

case7: strike is 0 and underlying is positive

$K = 0, S_{0} > 0$のときは、

\[V_{BS}(0; S_{0}, K, r, T, \sigma) = S_{0}\]

case8: strike is 0 and underlying is negative

$K = 0, S_{0} < 0$のときは、

\[V_{BS}(0; S_{0}, K, r, T, \sigma) = 0\]

put option

\[\begin{equation} \mathrm{E}^{Q} \left[ e^{-rT}(K - S(T))^{+} \right] = e^{-rT}KN(-d_{2}) - S(0)N(-d_{1}) \end{equation}\]

$K < 0 $とすると、$S(T) > 0$より

\[\begin{eqnarray*} \mathrm{E}^{Q} \left[ e^{-rT}(S(T) - K) \right] & = & 0 \end{eqnarray*}\]

となる。

Distributions

\[\begin{eqnarray} V_{BS}(0; S_{0}, K, r, T, \sigma) := \mathrm{E}^{Q} \left[ e^{-rT}(S(T) - K)^{+} \right] \end{eqnarray}\]

とする。

Derivative with respect to strike

Black Scholesのcall optionの$K$での微分を考える。 まず、$d_{1}$の微分を考える。

\[\begin{eqnarray} d_{1}(K) & := & \frac{ \ln\left(\frac{S}{K}\right) + (r + \sigma^{2}/2)T }{ \sqrt{T}\sigma }, \label{def_d1_as_function_of_strike} \\ d_{1}^{\prime}(K) & = & \frac{1}{\sqrt{T}\sigma} \frac{K}{S} -\frac{S}{K^{2}}, \nonumber \\ & = & - \frac{1}{\sqrt{T}\sigma K}, \label{first_derivative_d1_with_respect_to_strike} \\ d_{1}^{\prime\prime}(K) & = & \frac{1}{\sqrt{T}\sigma K^{2}}, \label{second_derivative_d1_with_respect_to_strike} \end{eqnarray}\]

$d_{2}$の微分を考える。

\[\begin{eqnarray} d_{2}(K) & := & \frac{ \ln\left(\frac{S}{K}\right) + (r - \sigma^{2}/2)T }{ \sqrt{T}\sigma }, \label{def_d2_as_function_of_strike} \\ d_{2}^{\prime}(K) & = & - \frac{1}{\sqrt{T}\sigma K}, \label{first_derivative_d2_with_respect_to_strike} \\ d_{2}^{\prime\prime}(K) & = & \frac{1}{\sqrt{T}\sigma K^{2}}, \label{second_derivative_d2_with_respect_to_strike} \end{eqnarray}\]

$\phi(x)$の微分を考える。

\[\phi(x) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{x^{2}}{2} \right)\] \[\begin{eqnarray} \phi^{\prime}(x) & = & -x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{x^{2}}{2} \right) \nonumber \\ & = & -x \phi(x) \label{first_derivative_phi} \end{eqnarray}\] \[\begin{eqnarray} \phi^{\prime}(d_{1}(K)) & = & -d_{1}(K) \phi(d_{1}(K)) \label{first_derivative_phi_d1} \end{eqnarray}\]

次に$\Phi(x)$の微分を考える。

\[\Phi(x) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-x^{2}/2}\ dx\]

1階微分は、

\[\begin{eqnarray} \frac{d}{d K} \Phi(d_{1}(K)) & = & \phi(d_{1}(K)) d_{1}^{\prime}(K) \end{eqnarray}\] \[\begin{eqnarray} \frac{d}{d K} \Phi(d_{2}(K)) & = & \phi(d_{2}(K)) d_{2}^{\prime}(K) \end{eqnarray}\]

となる。

call option $V_{BS}(0; S_{0} K, r, T, \sigma)$の微分を考える。

\[\begin{eqnarray} V_{BS}(0; S_{0} K, r, T, \sigma) & = & \mathrm{E}^{Q} \left[ D(T)(S(T) - K)^{+} \right] \nonumber \\ & = & S\Phi(d_{1}(K)) - e^{-rT}K\Phi(d_{2}(K)) \nonumber \end{eqnarray}\]

また、d1とd2の関係式より、call optionの1階微分は

\[\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial K} V_{BS}(0; S_{0} K, r, T, \sigma) & = & S\phi(d_{1}(K))d_{1}^{\prime}(K) - e^{-rT}\Phi(d_{2}(K)) - e^{-rT}K\phi(d_{2}(K))d_{2}^{\prime}(K) \nonumber \\ & = & S\phi(d_{1}(K))d_{1}^{\prime}(K) - S\phi(d_{1}(K))d_{2}^{\prime}(K) - e^{-rT}\Phi(d_{2}(K)) \nonumber \\ & = & - e^{-rT}\Phi(d_{2}(K)) \label{first_derivative_of_black_scholes_call_option_formula_with_respect_to_strike} \end{eqnarray}\]

となる。 簡単のため、$d^{\prime}(K) := d_{1}^{\prime}(K) = d_{2}^{\prime}(K)$と$d^{\prime\prime}(K) := d_{2}^{\prime\prime}(K) = d_{2}^{\prime\prime}(K)$とする。 call optionの2階微分は、\(\eqref{first_derivative_of_black_scholes_call_option_formula_with_respect_to_strike}\)より、

\[\begin{eqnarray} \frac{\partial^{2}}{\partial K^{2}} V_{BS}(0; S_{0} K, r, T, \sigma) & = & \frac{\partial^{2}}{\partial K^{2}}(- e^{-rT}\Phi(d_{2}(K))) \nonumber \\ & = & -e^{-rT} \phi(d_{2}(K)) d^{\prime}(K) \label{second_derivative_of_black_scholes_call_option_formula_with_respect_to_strike} \end{eqnarray}\]

となる。 最後にcall optionの3階微分も同様に計算する。

\[\begin{eqnarray} \frac{\partial^{3}}{\partial K^{3}} V_{BS}(0; S_{0} K, r, T, \sigma) & = & \frac{\partial^{3}}{\partial K^{3}} (-e^{-rT} \phi(d_{2}(K)) d^{\prime}(K)) \nonumber \\ & = & -e^{-rT} \left( \phi^{\prime}(d_{2}(K)) (d^{\prime}(K))^{2} + \phi(d_{2}(K)) d^{\prime\prime}(K) \right) \label{third_derivative_of_black_scholes_formula_with_respect_to_strike} \end{eqnarray}\]

となる。

Cumulative Distribution Function under risk neutral measure

\[\begin{eqnarray} \Phi_{BS}(s) & := & 1 + \frac{\partial}{\partial K} \mathrm{E}^{Q} \left[ (S(T) - K)^{+} \right] \nonumber \\ & = & 1 + \frac{\partial}{\partial K} e^{rT} V_{BS}(0; S_{0}, K, r, T, \sigma) \nonumber \\ & = & 1 + e^{rT} \frac{\partial}{\partial K} V_{BS}(0; S_{0}, K, r, T, \sigma) \end{eqnarray}\]

Probability Density Function under risk neutral measure

\[\begin{eqnarray} \phi_{BS}(s; S_{0}, K, r, T, \sigma) & := & \frac{\partial^{2}}{\partial K^{2}} \mathrm{E}^{Q} \left[ (S(T) - K)^{+} \right] \nonumber \\ & = & \frac{\partial^{2}}{\partial K^{2}} e^{rT} V_{BS}(0; S_{0}, K, r, T, \sigma) \nonumber \\ & = & e^{rT} \frac{\partial^{2}}{\partial K^{2}} V_{BS}(0; S_{0}, K, r, T, \sigma) \end{eqnarray}\]

Shifted black scholes model

Shifted Black model, Shifted lognormal model or displaced diffusionともいう。

\[S_{\theta}(t) = (S(0) - \theta) + \int_{0}^{t} \sigma (S_{\theta}(s) - \theta)\ dW_{s}^{Q}\]

微分形でかくと

\[d S_{\theta}(t) = \sigma (S_{\theta}(t) - \theta) dW_{t}^{Q}, \quad S(0) = S(0) - \theta\]

である。

$S_{\theta}(t)$は解析的にとけて、以下の解を持つ。

\[S_{\theta}(t) = \theta + (S(0) - \theta)\exp \left( - \frac{\sigma^{2}}{2} t + \sigma W_{t} k \right)\]

call option

\[C(S(0), T; K, r) := \mathrm{E}^{Q} \left[ e^{-rT}((S(T) - \theta) - (K - \theta))^{+} \right]\]

swaption pricing

swap rate $S(T)$をBlack-scholes modelとしてswaptionのPricingをする。 swap rateが\(\eqref{black_scholes_model_integral_form}\)で定義されているとする。 $S(T)$がどの測度の下で定義されているかは、以下の議論においてはさほど重要ではない。 $S(T)$がannuity measureの下でマルチンゲールであるため、annuity measureの下では以下の形でかける。

\[S(t) = S(0) + \int_{0}^{t} \sigma S(s)\ dW_{s}^{A}\]

ここで、$W^{A}(t)$はannuity measureの下でのBrown運動である。 以下の議論ではこの事実を利用し、swaptionに対するblack formulaを導出する。 payer’s swaptionのpayoffとreciever’s swaptionを以下のように

\[\begin{eqnarray} V_{\mathrm{swap}}(t) & := & P(t, T_{0}) - P(t, T_{N}) - K \sum_{i=1}^{N} \delta_{i} P(t, T_{i}) \nonumber \\ & = & P(t, T_{0}) - P(t, T_{N}) - K A(t) \nonumber \\ & = & (S(t) - K)A(t) \end{eqnarray}\]

physical settled swaptionは、swaptionの固定レートを$K$とすると、満期日$T$とすると、満期日にswapの価値が正であれば、payer’s swaptionの持ちては権利を行使する。 よって、payer’s swaptionの価値は

\[\begin{eqnarray} V_{\mathrm{payer}}(t) & = & \mathrm{E}_{t}^{Q} \left[ \frac{D(T)}{D(t)} \left( (S(T) - K)A(T) \right)^{+} \right] \nonumber \\ & = & \mathrm{E}_{t}^{Q} \left[ \frac{D(T)}{D(t)} (S(T) - K)^{+} A(T) \right] \nonumber \\ & = & A(t) \mathrm{E}_{t}^{A} \left[ (S(T) - K)^{+} \right] \label{def_payers_swaption_value} \end{eqnarray}\]

となる。 $S(T)$が$Q^{A}$の下マルチンゲールなので、black scholes call option formulaより、

\[\begin{eqnarray} V_{\mathrm{payer}}(t) & = & A(t)(S(t)N(d_{1}) - KN(d_{2})) \\ d_{1} & := & \frac{ \ln\left(\frac{S(t)}{K} \right) + \frac{1}{2}\sigma^{2}(T - t) }{ \sigma \sqrt{T - t} }, \label{def_d1_payers_swaption} \\ d_{2} & := & \frac{ \ln\left(\frac{S(t)}{K} \right) - \frac{1}{2}\sigma^{2}(T - t) }{ \sigma \sqrt{T - t} } \label{def_d2_payers_swaption} \end{eqnarray}\]

となる。 同様にreceiver’s swaptionについて

\[\begin{eqnarray} V_{\mathrm{receiver}}(t) & = & A(t) \mathrm{E}_{t}^{A} \left[ (K - S(T))^{+} \right] \\ & = & A(t) (K \Phi(-d_{2}) - S(t)\Phi(-d_{1})) \end{eqnarray}\]

Distribution

derivative with respect to strike

\(\eqref{def_d1_payers_swaption}\)と\(\eqref{def_d2_payers_swaption}\)を$d_{1}(K)$と$d_{2}(K)$とおく。 また、payer’s swaptionの価値\(\eqref{def_payers_swaption_value}\)を$V(t, K)$とおく。

\[\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial K} V_{\mathrm{payer}}(t, K) & = & A(t) \frac{\partial}{\partial K} \left( (S(t)\Phi(d_{1}(K)) - K\Phi(d_{2}(K))) \right) \nonumber \\ & = & A(t)(S(t)\phi(d_{1}(K)) d_{1}^{\prime}(K) - \Phi(d_{2}(K)) - K \phi(d_{2}(K)) d_{2}^{\prime}(K)) \nonumber \\ & = & - A(t)\Phi(d_{2}(K)) \label{first_derivative_of_payers_swaption_with_respect_to_strike} \end{eqnarray}\]

また、2階微分は以下のようにする。

\[\begin{eqnarray} \frac{\partial^{2}}{\partial K^{2}} V_{\mathrm{payer}}(t, K) & = & -A(t) \frac{\partial}{\partial K} \left( \Phi(d_{2}(K)) \right) \nonumber \\ & = & -A(t) \phi(d_{2}(K)) d_{2}^{\prime}(K) \label{second_derivative_of_payers_swaption_with_respect_to_strike} \end{eqnarray}\]

同様に3階微分は、

\[\begin{eqnarray} \frac{\partial^{3}}{\partial K^{3}} V_{\mathrm{payer}}(t, K) & = & -A(t) \left( \phi^{\prime}(d_{2}(K)) (d^{\prime}(K))^{2} + \phi(d_{2}(K)) d^{\prime\prime}(K) \right) \label{third_derivative_of_payers_swaption_with_respect_to_strike} \end{eqnarray}\]

Cumulative Distribution Function under annuity measure

\[\begin{eqnarray} \Phi_{BSSwaption}(s) & := & 1 + \frac{\partial}{\partial K} \mathrm{E}^{A} \left[ (S(T) - K)^{+} \right] \nonumber \\ & = & 1 + \frac{\partial}{\partial K} A^{-1} V_{payer}(0; S_{0}, K, A, T, \sigma) \nonumber \\ & = & 1 + A^{-1} \frac{\partial}{\partial K} V_{payer}(0; S_{0}, K, A, T, \sigma) \end{eqnarray}\]

Probability Distribution Function under annuity measure

\[\begin{eqnarray} \phi_{BSSwaption}(s; S_{0}, K, A, T, \sigma) & := & \frac{\partial^{2}}{\partial K^{2}} \mathrm{E}^{A} \left[ (S(T) - K)^{+} \right] \nonumber \\ & = & \frac{\partial^{2}}{\partial K^{2}} A^{-1} V_{payer}(0; S_{0}, K, A, T, \sigma) \nonumber \\ & = & A^{-1} \frac{\partial^{2}}{\partial K^{2}} V_{payer}(0; S_{0}, K, A, T, \sigma) \end{eqnarray}\]

Greeks

black scholes modelのvanilla optionは解析的に求まる。 よって、Greeksも解析的に計算可能。 以下では

\[c(S, r, T, \sigma; K) := S(0)\Phi(d_{1}) - e^{-rT}K\Phi(d_{2})\]

とし、

\[\begin{eqnarray} d_{1}(S, r, T, \sigma) & := & \frac{ \ln\left(\frac{S}{K} \right) + (r + \frac{1}{2}\sigma^{2})T }{ \sigma \sqrt{T} }, \label{def_d1} \\ d_{2}(S, r, T, \sigma) & := & \frac{ \ln\left(\frac{S}{K} \right) + (r - \frac{1}{2}\sigma^{2})T }{ \sigma \sqrt{T} } \label{def_d2} \end{eqnarray}\]

とおく。 また、標準正規分布の分布関数$\Phi(x)$と密度関数$\phi(x)$の微分も計算しておく。 密度関数$\phi(x)$の微分を考える。

\[\phi(x) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{x^{2}}{2} \right)\] \[\begin{eqnarray} \phi^{\prime}(x) & = & -x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{x^{2}}{2} \right) \nonumber \\ & = & -x \phi(x) \label{phi_derivative} \\ \phi^{\prime\prime}(x) & = & -\phi(x) - x\phi^{\prime}(x) \nonumber \\ & = & -\phi(x) + x^{2}\phi(x) \end{eqnarray}\]

分布関数の微分は（存在すれば）密度関数に一致するので、$\Phi(x)$の微分は明らか。

\[\Phi(x) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-x^{2}/2}\ dx\] \[\Phi^{\prime}(x) = \phi(x)\]

また、以下が成り立つ。

\[\begin{eqnarray} S\phi(d_{1}) & = & S \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left( -\frac{ d_{1}^{2} }{2} \right) \nonumber \\ & = & S \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left( -\frac{ (d_{2} + \sigma\sqrt{T})^{2} }{2} \right) \nonumber \\ & = & S \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left( -\frac{ (d_{2}^{2} + 2d_{2}\sigma\sqrt{T} + \sigma^{2}T) }{2} \right) \nonumber \\ & = & S \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{d_{2}^{2} }{2} } \exp \left( -\frac{ 2(\ln(S/K) + (r - \frac{1}{2}\sigma^{2})T) + \sigma^{2}T) }{2} \right) \nonumber \\ & = & S \phi(d_{2}) \exp \left( - \left( \ln(S/K) + (r - \frac{1}{2}\sigma^{2})T + \frac{1}{2}\sigma^{2}T) \right) \right) \nonumber \\ & = & S \phi(d_{2}) \exp \left( - \left( \ln(S/K) + rT \right) \right) \nonumber \\ & = & S \phi(d_{2}) \exp \left( - \ln(S/K) \right) e^{-rT} \nonumber \\ & = & S \phi(d_{2}) \frac{K}{S} e^{-rT} \nonumber \\ & = & \phi(d_{2}) K e^{-rT} \label{d1_d2_density_relation} \end{eqnarray}\]

Delta

deltaは原資産による微分である。 簡単のため、$d_{1}, d_{2}, c$を$S$の関数として書く。 まず、$d_{1}, d_{2}$の微分を考える。

\[\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial S} d_{1}(S) & = & \frac{\partial}{\partial S} \left( \frac{ \left(\ln(S) - \ln(K) \right) + (r + \frac{1}{2}\sigma^{2})T }{ \sigma \sqrt{T} } \right) \nonumber \\ & = & \frac{1}{S} \frac{1}{ \sigma \sqrt{T} } \\ \frac{\partial}{\partial S} d_{2}(S) & = & \frac{1}{S} \frac{1}{ \sigma \sqrt{T} } \end{eqnarray}\]

以上と\(\eqref{d1_d2_density_relation}\)より

\[\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial S} c(S) & = & \Phi(d_{1}(S)) + S\phi(d_{1}(S)) \frac{\partial}{\partial S} d_{1}(S) - e^{-rT}K\phi(d_{2}(S)) \frac{\partial}{\partial S} d_{2}(S) \nonumber \\ & = & \Phi(d_{1}(S)) + \frac{1}{S} \frac{1}{ \sigma \sqrt{T} } \left( S\phi(d_{1}(S)) - e^{-rT}K\phi(d_{2}(S)) \right) \nonumber \\ & = & \Phi(d_{1}(S)) \end{eqnarray}\]

となる。

Gamma

Gammaは原資産による2階微分である。 簡単のため、$d_{1}, d_{2}, c$を$S$の関数として書く。 まず、$d_{1}, d_{2}$の2階微分を考える。

\[\begin{eqnarray} \frac{\partial^{2}}{\partial S^{2}} d_{1}(S) & = & -\frac{1}{S^{2}} \frac{1}{ \sigma \sqrt{T} } \\ \frac{\partial^{2}}{\partial S^{2}} d_{2}(S) & = & -\frac{1}{S^{2}} \frac{1}{ \sigma \sqrt{T} } \end{eqnarray}\] \[\begin{eqnarray} \frac{\partial^{2}}{\partial S^{2}} c(S) & = & \frac{\partial}{\partial S} \Phi(d_{1}(S)) \nonumber \\ & = & \phi(d_{1}(S))d_{1}^{\prime}(S) \end{eqnarray}\]

Vega

vegaはvolatility $\sigma$による微分である。 簡単のため、$d_{1}, d_{2}, c$を$\sigma$の関数として書く。 まず、$d_{1}, d_{2}$の微分を考える。

\[\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial \sigma} d_{1}(\sigma) & = & \frac{1}{\sqrt{T}} \frac{\partial}{\partial \sigma} \frac{ \ln(S/K) + (r + \frac{1}{2}\sigma^{2})T }{ \sigma } \nonumber \\ & = & \frac{1}{\sqrt{T}} \frac{ \sigma \sigma T - \left( \ln(S/K) + +(r + \frac{1}{2}\sigma^{2})T \right) }{ \sigma^{2} } \nonumber \\ & = & \frac{1}{\sqrt{T}} \frac{ - \ln(S/K) + (\frac{1}{2}\sigma^{2} - r)T }{ \sigma^{2} } \\ \frac{\partial}{\partial \sigma} d_{2}(\sigma) & = & \frac{1}{\sqrt{T}} \frac{\partial}{\partial \sigma} \frac{ \ln(S/K) + (r - \frac{1}{2}\sigma^{2})T }{ \sigma^{2} } \nonumber \\ & = & \frac{1}{\sqrt{T}} \frac{ -\sigma \sigma T - \left( \ln(S/K) + (r - \frac{1}{2}\sigma^{2})T \right) }{ \sigma^{2} } \nonumber \\ & = & \frac{1}{\sqrt{T}} \frac{ - \ln(S/K) - (\frac{1}{2}\sigma^{2} + r)T }{ \sigma^{2} } \end{eqnarray}\]

以上と\(\eqref{d1_d2_density_relation}\)より、

\[\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial \sigma} c(\sigma) & = & \frac{\partial}{\partial \sigma} \left( S\Phi(d_{1}(\sigma)) - e^{-rT}K\Phi(d_{2}(\sigma)) \right) \nonumber \\ & = & S\phi(d_{1}(\sigma)) \frac{\partial}{\partial \sigma} d_{1}(\sigma) - e^{-rT}K\phi(d_{2}(\sigma)) \frac{\partial}{\partial \sigma} d_{2}(\sigma) \nonumber \\ & = & S\phi(d_{1}(\sigma)) \frac{\partial}{\partial \sigma} d_{1}(\sigma) - S\phi(d_{1}(\sigma)) \frac{\partial}{\partial \sigma} d_{2}(\sigma) \nonumber \\ & = & S\phi(d_{1}(\sigma)) \left( \frac{\partial}{\partial \sigma} d_{1}(\sigma) - \frac{\partial}{\partial \sigma} d_{2}(\sigma) \right) \nonumber \\ & = & S\phi(d_{1}(\sigma)) \left( \frac{1}{\sqrt{T}} \frac{ - \ln(S/K) + (\frac{1}{2}\sigma^{2} - r)T }{ \sigma^{2} } - \frac{1}{\sqrt{T}} \frac{ - \ln(S/K) - (\frac{1}{2}\sigma^{2} + r)T }{ \sigma^{2} } \right) \nonumber \\ & = & S\phi(d_{1}(\sigma)) \sqrt{T} \frac{ (\frac{1}{2}\sigma^{2} - r) + (\frac{1}{2}\sigma^{2} + r) }{ \sigma^{2} } \nonumber \\ & = & \sqrt{T} S\phi(d_{1}(\sigma)) \end{eqnarray}\]

Volga

\[\begin{eqnarray} \frac{\partial^{2}}{\partial \sigma^{2}} c(\sigma) & = & \frac{\partial}{\partial \sigma} \left( \sqrt{T} S\phi(d_{1}(\sigma)) \right) \nonumber \\ & = & \sqrt{T} S \phi^{\prime}(d_{1}(\sigma)) \frac{\partial}{\partial \sigma} d_{1}(\sigma) \nonumber \\ & = & \sqrt{T} S \phi^{\prime}(d_{1}(\sigma)) \frac{ - \ln(S/K) + (\frac{1}{2}\sigma^{2} - r)T }{ \sigma^{2}\sqrt{T} } \nonumber \\ & = & S \phi^{\prime}(d_{1}(\sigma)) \frac{ - \ln(S/K) + (\frac{1}{2}\sigma^{2} - r)T }{ \sigma^{2} } \end{eqnarray}\]

Theta

Thetaは現在時刻$t$による微分である。 簡単のため、$d_{1}, d_{2}, c$を$t$の関数として書く。 まず、$d_{1}, d_{2}$の微分を考える。

\[\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial t} d_{1}(t) & = & \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{ \ln\left(\frac{S}{K} \right) + (r + \frac{1}{2}\sigma^{2})(T - t) }{ \sigma \sqrt{T - t} } \right) \nonumber \\ & = & \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{ (r + \frac{1}{2}\sigma^{2}) }{ \sigma } \sqrt{T - t} \right) \nonumber \\ & = & - \frac{ (r + \frac{1}{2}\sigma^{2}) }{ 2\sigma\sqrt{T - t} } \\ \frac{\partial}{\partial t} d_{2}(t) & = & - \frac{ (r - \frac{1}{2}\sigma^{2}) }{ 2\sigma\sqrt{T - t} } \end{eqnarray}\]

以上と\(\eqref{d1_d2_density_relation}\)より

\[\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial t} c(t) & = & \frac{\partial}{\partial t} \left( S\Phi(d_{1}(t)) - e^{-r(T - t)}K\Phi(d_{2}(t)) \right) \nonumber \\ & = & S\phi(d_{1}(t)) \frac{\partial}{\partial t} d_{1}(t) - re^{-r(T - t)}K\Phi(d_{2}(t)) - e^{-r(T - t)}K\phi(d_{2}(t)) \frac{\partial}{\partial t} d_{2}(t) \nonumber \\ & = & S\phi(d_{1}(t)) \frac{\partial}{\partial t} d_{1}(t) - S\phi(d_{1}(t)) \frac{\partial}{\partial t} d_{2}(t) - re^{-r(T - t)}K\Phi(d_{2}(t)) \nonumber \\ & = & S\phi(d_{1}(t)) \left( \frac{\partial}{\partial t} d_{1}(t) - \frac{\partial}{\partial t} d_{2}(t) \right) - re^{-r(T - t)}K\Phi(d_{2}(t)) \nonumber \\ & = & S\phi(d_{1}(t)) \left( - \frac{ (r + \frac{1}{2}\sigma^{2}) }{ 2\sigma\sqrt{T - t} } + \frac{ (r - \frac{1}{2}\sigma^{2}) }{ 2\sigma\sqrt{T - t} } \right) - re^{-r(T - t)}K\Phi(d_{2}(t)) \nonumber \\ & = & - S\phi(d_{1}(t)) \left( \frac{ \sigma }{ 2\sqrt{T - t} } \right) - re^{-r(T - t)}K\Phi(d_{2}(t)) \end{eqnarray}\]

Rho

Rhoは金利$r$による微分である。 簡単のため、$d_{1}, d_{2}, c$を$r$の関数として書く。 まず、$d_{1}, d_{2}$の微分を考える。

\[\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial r} d_{1}(r) & = & \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{ \ln\left(\frac{S}{K} \right) + (r + \frac{1}{2}\sigma^{2})(T - t) }{ \sigma \sqrt{T - t} } \right) \nonumber \\ & = & \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{ \sqrt{T - t} }{ \sigma } r \right) \nonumber \\ & = & \frac{ \sqrt{T - t} }{ \sigma } \\ \frac{\partial}{\partial t} d_{2}(t) & = & \frac{ \sqrt{T - t} }{ \sigma } \end{eqnarray}\]

以上と\(\eqref{d1_d2_density_relation}\)より

\[\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial r} c(r) & = & \frac{\partial}{\partial r} \left( S\Phi(d_{1}(r)) - e^{-r(T - t)}K\Phi(d_{2}(r)) \right) \nonumber \\ & = & S\phi(d_{1}(r)) \frac{\partial}{\partial r} d_{1}(r) + (T - t)e^{-r(T - t)}K\Phi(d_{2}(r)) - e^{-r(T - t)}K\phi(d_{2}(r)) \frac{\partial}{\partial r} d_{2}(r) \nonumber \\ & = & S\phi(d_{1}(r)) \frac{\partial}{\partial r} d_{1}(r) - S\phi(d_{1}(r)) \frac{\partial}{\partial r} d_{2}(r) + (T - t)e^{-r(T - t)}K\Phi(d_{2}(r)) \nonumber \\ & = & S\phi(d_{1}(r)) \left( \frac{\partial}{\partial r} d_{1}(r) - \frac{\partial}{\partial r} d_{2}(r) \right) + (T - t)e^{-r(T - t)}K\Phi(d_{2}(r)) \nonumber \\ & = & (T - t)e^{-r(T - t)}K\Phi(d_{2}(r)) \end{eqnarray}\]

Derivative of Vega with respect to strike

SABR modelの分布の計算で、Greeksのstrikeでの微分がでてくる。 簡単のため、Vegaを$K$の関数として$\mathrm{Vega}_{\mathrm{BSCall}}(K)$とかく。 \(\eqref{first_derivative_d1_with_respect_to_strike}\)より、

\[\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial K} \mathrm{Vega}_{\mathrm{BSCall}}(K) & = & \frac{\partial}{\partial K} \left( \sqrt{T} S\phi(d_{1}(K)) \right) \nonumber \\ & = & \sqrt{T} S\phi^{\prime}(d_{1}(K)) \left( - \frac{1}{\sqrt{T}\sigma K}, \right) \nonumber \\ & = & - S\phi^{\prime}(d_{1}(K)) \frac{1}{\sigma K}, \end{eqnarray}\]