Methods for constructing a Yield Curve
Symbol
- $r(t) := r(0, t)$は,時刻0の満期$t$のrisk free rate
- $Z(0, t)$は時刻0の満期$t$での割引債の価格
- $C(0, t)$は$Z(0, t)$の逆数
- $Z(0; t_{1}, t_{2})$は時刻0での$t_{1}, t_{2}$の間のforward discount factor
- $f(0; t_{1}, t_{2})$は時刻0での$t_{1}, t_{2}$の間のforward rate
- $f(t) := f(0, t)$は時刻0でのinstantaneous forward rate
forward discoutn factorは以下で定義される。
\[Z(0, t_{1}) Z(0; t_{1}, t_{2}) = Z(0, t_{2})\]また、fowward rateは以下で定義する。
\[\exp(-f(0; t_{1}, t_{2})(t_{2} - t_{1})) = Z(0; t_{1}, t_{2})\] \[\begin{eqnarray} f(0; t_{1}, t_{2}) & = & - \frac{\ln(Z(0, t_{2})) - \ln(Z(0, t_{1}))}{t_{2} - t_{1}} \label{forward_rate_discount_factor} \\ & = & \frac{r(t_{2})t_{2} - r(t_{1}) t_{1}}{t_{2} - t_{1}} \end{eqnarray}\]instantaneous forward rateを以下で定義する。
\[f(0, t) := \lim_{\epsilon \rightarrow 0}f(0; t, t+\epsilon)\]また、forward rateの定義より以下が成り立つ。
\[\begin{eqnarray} f(0, t) & = & - \frac{d}{dt} \ln(Z(0, t)) \\ & = & \frac{d}{dt}r(t)t \label{instantaneous_forward_rate_risk_free_rate} \end{eqnarray}\]よって、instantaneous forward rateは$f(0, t) = r(t) + r’(t)t$とかける。 また、上式を両辺積分すると
\[\begin{eqnarray} r(t) t & = & \int_{0}^{t} f(0, s)\ ds \\ Z(0, t) & = & \exp \left( - \int_{0}^{t} f(0, s) \ ds \right) \label{discount_factor_instantaneous_forward_rate} \end{eqnarray}\]また、$\eqref{discount_factor_instantaneous_forward_rate}$と$\eqref{forward_rate_discount_factor}$から
\[\begin{eqnarray} f(0; t_{1}, t_{2}) & = & - \frac{\ln(Z(0, t_{2})) - \ln(Z(0, t_{1}))}{t_{2} - t_{1}} \\ & = & -\frac{1}{t_{2} - t_{1}} \int_{t_{1}}^{t_{2}} f(0, s) \ ds \end{eqnarray}\]更に
\[\begin{equation} f(0; t_{i - 1}, t_{i}) = \frac{r(t_{i}) t_{i} - r(t_{i - 1}) t_{i - 1}}{t_{i} - t_{i - 1}} = -\frac{1}{t_{i} - t_{i-1}} \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} f(0, s) \ ds \end{equation}\]となる。ここで、$t_{i} = t$とおけば
\[\begin{equation} r(t) t = r(t_{i-1}) t_{i-1} + \int_{t_{i-1}}^{t} f(0, s) \ ds,\ t \in [t_{i - 1}, t_{i}] \label{rt_instantaneous_forward_rate} \end{equation}\]となる。 よって、risk free rateはforward rateを与えれば(instantaneous forward rateが求まり）求まる。
2. Interpolation And Bootstrap Of Yield Curves - Not Two Separate Processes
3. How to Compare Yield Curve Interpolation Methodologies
- forward rateの形状
- 連続性はfoward rateの安定性のために重要
- 不連続なfoward curveは将来のshort-term interest rateの期待値を
- forwardのsmoothnessは必要だが、他の要素との兼ね合い
- 補間方法がlocalかどうか
- 変化のあった入力値の近傍の補間の値だけ変わる
- ある点の補間方法が入力値全体に依存しない方が望ましい
- forward rateが安定しているか
- 入力値の一つが数basis point動いた時にか０部全体がどの程度動くか
Linear Methods
Linear on rates
risk free rateの線形補間。 つまり、
\[r(t) = \frac{t - t_{i-1}}{t_{i} - t_{i-1}} r(t_{i}) + \frac{t_{i} - t}{t_{i} - t_{i-1}} r(t_{i-1})\]となる。 instantaneous forward rateは$\eqref{instantaneous_forward_rate_risk_free_rate}$より
\[\begin{eqnarray} f(0, t) & = & r(t) + r'(t)t \\ & = & \frac{t - t_{i-1}}{t_{i} - t_{i-1}} r(t_{i}) + \frac{t_{i} - t}{t_{i} - t_{i-1}} r(t_{i-1}) + \frac{t}{t_{i} - t_{i-1}} r(t_{i}) + \frac{- t}{t_{i} - t_{i-1}} r(t_{i-1}) \\ & = & \frac{2t - t_{i-1}}{t_{i} - t_{i-1}} r(t_{i}) + \frac{t_{i} - 2t}{t_{i} - t_{i-1}}r(t_{i-1}) \end{eqnarray}\]となる。
Linear on the log of rates
risk free rateのlogをとったものを線形補間。 risk free rateのlog linear補間。 この補間方法ではrisk free rateは常に正になる。
\[\ln(r(t)) = \frac{t - t_{i-1}}{t_{i} - t_{i-1}} \ln(r(t_{i})) + \frac{t_{i} - t}{t_{i} - t_{i-1}} \ln(r(t_{i-1}))\]これは以下のようにかける。
\[r(t) = r(t_{i})^{\frac{t - t_{i-1}}{t_{i} - t_{i-1}}}r(t_{i-1})^\frac{t_{i} - t}{t_{i} - t_{i-1}}\]また、forward rateは
\[r'(t) = \ln(r(t_{i})) r(t_{i})^{\frac{t - t_{i-1}}{t_{i} - t_{i-1}}} \ln(r(t_{i-1}) r(t_{i-1})^\frac{t_{i} - t}{t_{i} - t_{i-1}}\]を代入すれば求まる。
Linear on discount factors
discount factorの線形補間
\[Z(0, t) = \frac{t - t_{i-1}}{t_{i} - t_{i-1}} Z(0, t_{i}) + \frac{t_{i} - t}{t_{i} - t_{i-1}} Z(0, t_{i-1})\]このとき、risk free rateは$\eqref{risk_free_rate_discount_factor}$より
\[\begin{eqnarray} r(t) & = & - \frac{1}{t}\ln Z(0, t) \\ & = & - \frac{1}{t} \ln \left( \frac{t - t_{i-1}}{t_{i} - t_{i-1}} e^{-r(t_{i})t_{i}} + \frac{t_{i} - t}{t_{i} - t_{i-1}} e^{-r(t_{i-1}) t_{i-1}} \right) \end{eqnarray}\]となる。 またforward rateは、
\[\begin{eqnarray} r'(t) & = & t^{-2} \ln \left( \frac{t - t_{i-1}}{t_{i} - t_{i-1}} e^{-r(t_{i})t_{i}} + \frac{t_{i} - t}{t_{i} - t_{i-1}} e^{-r(t_{i-1}) t_{i-1}} \right) + t^{-1} \frac{1}{ \frac{t - t_{i-1}}{t_{i} - t_{i-1}} e^{-r(t_{i})t_{i}} + \frac{t_{i} - t}{t_{i} - t_{i-1}} e^{-r(t_{i-1}) t_{i-1}}} \left( \frac{1}{t_{i} - t_{i-1}} e^{-r(t_{i})t_{i}} - \frac{1}{t_{i} - t_{i-1}} e^{-r(t_{i-1}) t_{i-1}} \right) \\ & = & t^{-2} \ln \left( \frac{t - t_{i-1}}{t_{i} - t_{i-1}} e^{-r(t_{i})t_{i}} + \frac{t_{i} - t}{t_{i} - t_{i-1}} e^{-r(t_{i-1}) t_{i-1}} \right) + t^{-1} \frac{1}{(t - t_{i-1})e^{-r(t_{i})t_{i}} + (t_{i} - t)e^{-r(t_{i-1}) t_{i-1}}} \left( e^{-r(t_{i})t_{i}} - e^{-r(t_{i-1}) t_{i-1}} \right) \end{eqnarray}\]より、
\[\begin{eqnarray} f(0, t) & = & r(t) + r'(t)t \\ & = & \frac{1}{(t - t_{i-1})e^{-r(t_{i})t_{i}} + (t_{i} - t)e^{-r(t_{i-1}) t_{i-1}}} \left( e^{-r(t_{i})t_{i}} - e^{-r(t_{i-1}) t_{i-1}} \right) \end{eqnarray}\]となる。
Raw interpolation (linear on the log of discount factors)
とても安定している方法で、実装が楽。 instantaneous forward rateをpiecewise constantとする。 disocunt factorのlog linear補間。 また、$rt$のlinear補間とも見ることができる。
instantaneous forward rateが区分定数とすると、$\eqref{rt_instantaneous_forward_rate}$より
\[\begin{eqnarray*} r(t) t & = & r(t_{i-1}) t_{i-1} + \int_{t_{i-1}}^{t} f(s) \ ds,\ t \in [t_{i - 1}, t_{i}] \\ & = & r(t_{i-1}) t_{i-1} + (r(t)t - r(t_{i-1})t_{i-1}) ds, \end{eqnarray*}\]また、disocunt factorのlog linear補間と思うと
\[\ln(Z(0, t)) = \frac{t - t_{i-1}}{t_{i} - t_{i-1}} \ln(Z(0, t_{i})) + \frac{t_{i} - t}{t_{i} - t_{i-1}} \ln(Z(0, t_{i-1}))\]$Z(0, t) = \exp(-r(t)t)$より、
\[r(t)t = \frac{t - t_{i-1}}{t_{i} - t_{i-1}} r(t_{i})t_{i} + \frac{t_{i} - t}{t_{i} - t_{i-1}}r(t_{i-1})t_{i-1}\]である。