Managing Simle Risk

Abstract

DupireのLocal volatility modelでsmilesとskewに対応していた。 local vol modelのmarketのsmileのdynamicsは、marketで観測されるものと反対の動きをする。 原資産の価格が下がった時、local vol modelではsmileがより高い価格へshiftする。 原資産の価格が上がった時、local vol modelではsmileがより低い価格へshiftする。 marketとmodelの挙動の不整合により、deltaとvega hedgeがBSと比べて安定しない。

この論文では、以下のSABRモデルを導入する。

\[\begin{eqnarray} dF & = & \alpha F^{\beta} dW_{1} \\ d\alpha & = & v \alpha dW_{2} \end{eqnarray}\]

ここで、$F$は原資産の価格で、$\alpha$はvolatility、$dW_{1} dW_{2} = \rho dt$である。

Introduction

2.Reprice

2つの問題。 1つはexotic optionのpricingの問題。 例えば、$K_{1}$をストライクとする$K_{2} (< K_{1})$を下回るとknock outするcall optionを考える。 この時、$K_{1}$のcall optionのimplied volatility、$K_{2}$のimplied volatility、またはその両方を考慮すべきである。 adjustmentなしにすべてのstrikeについて計算できる、単一のself-consistentなmodelでなければこれらを考慮できない。 各strikeと各maturityについて、それぞれ異なるBS modelを考える方法ではだめ。

2つ目はヘッジの問題。 異なるstrikeに別のmodelを使っていると、deltaとvegaのriskが他のstrikeで計算されたものとどう関係するのかがわからなくなる。 例えば、high strikeの1 month optionが1MMドルのdeltaのriskを持っており、low strikeの1 month optionが-1MMドルのdeltaのriskを持っている。 vega riskについても同様の問題がある。 volのparallel shiftないし、proportional shiftによるtotal vega riskを想定するべきだろうか？ 具体的には、$K=100$で$\sigma_{B} = 20%$、$K=90$で$\sigma_{B} = 24%$で、図2.1の1m optionとする。 vegaを計算するために

• それぞれのoptionに対して$\sigma_{B}$を0.2% bump
• 最初のoptionに対して$\sigma_{B}$を0.2% bump

などが考えられる。 これらの問題は重要で、portfolio全体のdeltaとvegaのriskを一括してmanagementするために重要である。 すべてのstrikeを考慮できるmodelである必要がある。

3つめの問題は、implied volatilityのカーブ$\sigma_{B}(K)$の発展に関する問題である。 $\sigma_{B}$は$K$に依存するので、forward priceの現在の価値$f$にも依存する。 よって、$\sigma_{B} = \sigma_{B}(K, f)$を考える。 この場合、図2.1のように、原資産のforward priceが変わると$\sigma-{B}$の値も変わる。

2.2 Local volatility models.

これらの一つの解決方法は、Dupire[2]とDerman[4][5]によりLocal volatility modelである。 Black modelの問題だったのは、係数$C(t, *)$を$\sigma_{B}F$という単純すぎる形にしたことである。 1つの代替案は、$C$をMarkovianと仮定し$C = C(t, F)$とすることである。 以後、$C(t, F)$を$\sigma_{loc}(t, F)$と書くことにする。 local volatiltiy modelはforward priceをforward measureの元で下記の通りmodel化する。

\[dF_{t} = \sigma_{loc}(t, F_{t}) dW_{t}, F_{0} = f\]

Dupireは$\sigma_{loc}(t, F_{t})$を流動性のあるEuropean optionのmarketpriceにcalibrateして得ることを提案した。 calibrationにおいて、local volatility function$\sigma_{loc}(t, F)$を与えて、

\[V_{call} := D(t_{settlement} E \left[ (F_{t_{ex}} - K )^{+} \mid F_{0} = f \right]\]

また、$V_{call}$を用いて

\[V_{put} := V_{call} - D(t_{ex})(f - K)\]

を評価し、optionの理論価格を得る。

特別な以下のケースを考える。

\[dF_{t} = \sigma_{loc}(F_{t}) F dW_{t}, F_{0} = f\]

[13], [14]で、singular perturbationでこのmodelを解析する。 European callとputの価格は、以下のimplied volatilityを代入したBlack formulaによって与えられる。

\[\sigma_{B}(K, f) = \sigma_{loc}(\frac{1}{2}(f + K)) \left( 1 + \frac{1}{24} \frac{\sigma_{loc}^{''}(\frac{1}{2}(f + K))}{\sigma_{loc}(\frac{1}{2}(f + K)}(f - K)^{2} + \cdots \right)\]

第二項は第一項の1%以下の補正しか与えない。

local volatility modelの挙動は第一項の分析による大部分を理解できる。

2.3 The SABR model.

local volatility modelの問題は、smile riskをcontrolする為には一つのBrown運動によるmarkovian modelの限界を示している。 この問題に対処するために、non-markovian modelやnon-Brownian motionのmodelを考えるのではなく、ここでは2-factor modelを考える。 forward measureの下で、以下のプロセスを考える。

\[\begin{eqnarray} d\hat{F} & = & \hat{\alpha}\hat{F}^{\beta}dW_{1}, \quad \hat{F}(0) = f, \\ d\hat{\alpha} & = & \nu\hat{\alpha}dW_{2}, \quad \hat{\alpha}(0) = \alpha, \\ dW_{1} dW_{2} & = & \rho dt. \end{eqnarray}\]

他の多くのstochastic volatility modelが提案されている[16], [17], [18], [19]. SABR modelは$\hat{F} , \hat{\alpha}$が同次のmodelで最も単純なものである。 以下ではSABR modelが任意の1つのexercise date$t_{ex}$のimplied volatility curveにあうことをみる。

stochastic volatility modelは、非完備市場のmodelで、stochastic volatilityのriskをhedgeできないという批判がしばしばある。 $\hat{\alpha}$の変化に対するrisk（vega risk）が原資産の売買でhedgeできないということは正しい。 しかし、原資産のoptionの売買によってriskをcontrolすることはできる。 現実的には、optionの売買でriskのhedgeをすることは日常的に行われており、非完備のmodelが問題かどうかは議論の余地がある。

SABR modelは、Appendix Bで詳細にみる。 singular perturbation methodでimplied volatility $\sigma_{B}(K f)$を求めている。 SABR modelの下European optionの価格は以下で与えられる。

\[\begin{eqnarray} V_{call}(0) & = & D(t_{set})(fN(d_{1}) - KN(d_{2})) \\ V_{put}(0) & = & V_{call} + D(t_{set})(K - f) \\ d_{1} & := & \frac{ \ln \left( \frac{f}{K} \right) + \frac{1}{2} \sigma_{B}^{2} t_{ex} }{ \sigma_{B} \sqrt{t_{x}} } \\ d_{2} & := & \frac{ \ln \left( \frac{f}{K} \right) - \frac{1}{2} \sigma_{B}(K, f)^{2} t_{ex} }{ \sigma_{B}(K, f) \sqrt{t_{x}} } \end{eqnarray}\]

ここで、implied volatilityは以下で与えられる。

\[\begin{eqnarray} \sigma_{B}(K, f; T) & \approx & \frac{ \alpha }{ (fK)^{(1-\beta)/2} \left( 1 + \frac{(1 - \beta)^{2}}{24} \log^{2}\frac{f}{K} + \frac{(1 - \beta)^{2}}{1920} \log^{4}\frac{f}{K} \right) } \left( \frac{z}{x(z)} \right) \left[ 1 + \left( \frac{(1 - \beta)^{2}}{24} \frac{\alpha^{2}}{(fK)^{1-\beta}} + \frac{1}{4} \frac{\rho\beta\nu\alpha}{(fK)^{(1-\beta)/2}} + \frac{2 - 3\rho^{2}}{24}\nu^{2} \right) T \right], \\ z & := & \frac{\nu}{\alpha} (fK)^{(1-\beta)/2} \log\left( \frac{f}{K} \right), \\ x(z) & := & \log \left( \frac{ \sqrt{1 - 2\rho z + z^{2}} + z - \rho }{ 1 - \rho } \right) \end{eqnarray}\]

更にATMの場合は、$f = K$なので、以下の簡単な形になる。

\[\begin{equation} \sigma_{ATM}(S; T) := \sigma_{B}(S, S; T) \approx \frac{\alpha}{S^{(1-\beta)}} \left[ 1 + \left( \frac{(1-\beta)^{2}}{24} \frac{\alpha^{2}}{S^{2 - 2\beta}} + \frac{1}{4} \frac{\rho \beta \alpha \nu}{S^{1-\beta}} + \frac{2 - 3\rho^{2}}{24} \nu^{2} \right) T \right] \end{equation}\]

3 Managing Smile Risk

Appendix A. Analysis of the SABR Model

\[\begin{eqnarray} d\hat{F} & = & \epsilon \hat{\alpha} C(\hat{F}) dW_{1}, \label{a_1a} \\ d \hat{\alpha} & = & \epsilon \nu \hat{\alpha} dW_{2}, \label{a_1b} \\ dW_{1}dW_{2} & = & \rho dt, \label{a_1c} \end{eqnarray}\]

A.1

\[\begin{equation} V(t, f, a) = (f - K)^{+} + \frac{|f - K|}{4 \sqrt{\pi}} \int_{\frac{x^{2}}{2\tau_{ex}} - \epsilon^{2}\theta}^{\infty} \frac{e^{-q}}{q^{3/2}}\ dq \label{a_52a} \end{equation}\] \[\begin{equation} \epsilon^{2}\theta = \log \left( \frac{ \epsilon \alpha z }{ f - K } \sqrt{B(0)B(\epsilon \alpha z)} \right) + \log \left( \frac{ x I^{1/2} \epsilon \nu z }{ z } \right) +\frac{1}{4} \epsilon^{2} \rho \nu \alpha b_{1} z^{2} \label{a_52b} \end{equation}\]

A.2 Equivalent normal volatility.

\(\eqref{a_52a}\)と\(\eqref{a_52b}\)はSABR modelでのcall optionの価格であった。

\[\begin{equation} \frac{z}{\chi(z)} := \frac{ \zeta }{ \log \left( \frac{ \sqrt{1 - 2\rho\zeta + \zeta^{2}} - \rho + \zeta }{ 1 - \rho } \right) }, \label{a_57b} \end{equation}\]

ここで、

\[\zeta := \epsilon \nu z = \frac{\nu}{\alpha} \int_{K}^{f} \frac{1}{C(\tilde{f})}\ d\tilde{f} = \frac{\nu}{\alpha} \frac{f - K}{C(f_{av})}(1 + O(\epsilon^{2})). \label{a_57c}\]

ここで、$f_{av} := \sqrt{fK}$は$f$と$K$は幾何平均である。

\[\begin{eqnarray} \epsilon^{2} \phi_{1} & := & \frac{1}{z^{2}} \log \left( \frac{ \epsilon \alpha z }{ f - K } \sqrt{C^{\prime}(f) C(K)} \right) \nonumber \\ & = & \frac{ 2 \gamma_{2} - \gamma_{1}^{2} }{ 24 } \epsilon^{2} \alpha^{2} C^{2}(f_{av}) + \cdots \label{a_57d} \end{eqnarray}\] \[\begin{eqnarray} \epsilon^{2}\phi_{2} & = & \frac{1}{z^{2}} \log \left( \frac{\chi}{z} (1 - 2 \epsilon \rho \nu z + \epsilon^{2} \nu^{2} z^{2})^{1/4} \right) \\ & = & \frac{2 - 3\rho^{2}}{24} \epsilon^{2} \nu^{2} + \cdots \end{eqnarray}\]

ここで、

\[\begin{equation} \gamma_{1} := \frac{C^{\prime}(f_{av})}{C(f_{av})}, \\ \gamma_{2} := \frac{C^{\prime\prime}(f_{av})}{C(f_{av})}. \label{a_57g} \end{equation}\] \[\begin{eqnarray} d \hat{F} & = & \epsilon \hat{\alpha}C(\hat{F}) dW_{1}, \quad \hat{F}(0) = f, \label{a_58a} \\ d\hat{\alpha} & = & \epsilon \nu \hat{\alpha} dW_{2}, \quad \hat{\alpha}(0) = \alpha, \label{a_58b} \\ dW_{1} dW_{2} & = & \rho dt, \label{a_58c} \end{eqnarray}\] \[\begin{equation} \sigma_{N} := \frac{ \epsilon \alpha (f - K) }{ \int_{K}^{f} \frac{1}{C(\tilde{f})}\ d \tilde{f} } \left( \frac{\zeta}{\hat{\chi}(\zeta)} \right) \left[ \left( \frac{ 2\gamma_{2} - \gamma_{1}^{2} }{ 24 } \alpha^{2}C^{2}(f_{av}) + \frac{1}{4} \rho \nu \alpha \gamma_{1} C(f_{av}) + \frac{2 - 3 \rho^{2}}{24}\nu^{2} \right)\epsilon^{2} T + \cdots \right] \label{a_59a} \end{equation}\]

ここで、

\[\begin{eqnarray} f_{av} & := & \sqrt{fK}, \\ \gamma_{1} & := & \frac{ C^{\prime}(f_{av}) }{ C(f_{av}) }, \\ \gamma_{2} & := & \frac{ C^{\prime\prime}(f_{av}) }{ C(f_{av}) }, \\ \zeta & := & \frac{\nu}{\alpha} \frac{f - K}{C(f_{av})}, \\ \hat{\chi}(\zeta) & := & \log \left( \frac{ \sqrt{1 - 2\rho\zeta + \zeta^{2}} - \rho + \zeta }{ 1 - \rho } \right) \end{eqnarray}\]

Referenc

• [1]
• [2]