Convexity Conundrums: Pricing CMS Swaps, Caps, and Floors
1. Introduction
- $P(t, T)$
- 満期$T$のZero Coupon Bondの$t$での価値
- $D(T) := P(0, T)$
- $\mathrm{cvg}(t_{\mathrm{st}}, t_{\mathrm{end}}, \mathrm{dcb})$
- day count conventionがdcbの区間$[t_{\mathrm{st}}, t_{\mathrm{end}}]$のday count fraction
1.1 Deal definition
- $t_{0}, \ldots, t_{m}$
- CMS のCash Flowの日付
- $R_{j}$
- $N$年のswap rate
CMS capsは各$t_{j} (j = 1, \ldots, m)$で以下の支払いを持つ。
\[\delta_{j}(R_{j} - K)^{+},\]CMS floorsは各$t_{j} (j = 1, \ldots, m)$で以下の支払いを持つ。
\[\delta_{j}(K - R_{j})^{+}\]1.2. Reference swap
CMS swap, cap. floorの価値は、各$t_{j}$での支払いの期待値の和である。 各時点でのpayoffを計算すれば良いから、以下を$t_{p}$で以下の支払いを持つ取引のみを考える。
\[\begin{eqnarray} g(R) & := & R, \\ g_{\mathrm{cap}}(R) & := & (R - K)^{+}, \\ g_{\mathrm{floor}}(R) & := & (K - R)^{+}, \end{eqnarray}\]swap rateの$t$での価値はo
\[V_{\mathrm{swap}}(t) := P(t, s_{0}) - P(t, s_{n}) - R_{\mathrm{fix}} \sum_{j=1}^{n} \alpha_{j}P(t, s_{j})\]PV01, DV01, annuityを以下で定義する。
\[A(t) := \sum_{j=1}^{n} \alpha_{j}P(t, s_{j})\]annuityは1ドルをswapの支払い期間ずつ$N$年間受け取る取引の現在価値である。
\[\begin{equation} V_{\mathrm{swap}}(t) = \frac{S(t) - R_{\mathrm{fix}}}{A(t)} \label{1_9_a_value_of_forward_swap_rate} \end{equation}\]ここで、
\[\begin{equation} S(t) = \frac{P(t, s_{0}) - P(t, s_{n})}{A(t)} \label{1_9_b_forward_swap_rate} \end{equation}\] \[\begin{equation} A_{0} := A(0) = \sum_{j=1}^{n} \alpha_{j} D_{j} = \sum_{j=1}^{n} \alpha_{j} P(0, s_{j}) \label{1_10_a_today_annuity} \end{equation}\]$t=0$での(forward) swap rateは以下でかける。
\[\begin{equation} S(0) = \frac{D_{0} - D_{n}}{A(0)} \label{1_10_b_today_swap_rate} \end{equation}\]2. Valuation
annuity measureの下での価値は以下のようになる。
\[\begin{equation} V(t) := A(t) \mathrm{E}^{A} \left[ \left. \frac{V(T)}{A(T)} \right| \mathcal{F}_{t} \right], \quad \forall T > t, \label{2_1_martingale_formula} \end{equation}\]である。 plain vanilla swaptionの価値、特に参照しているswap rateのstandard european optionについて考える。 行使日は、参照しているswapのfixing date$t_{\mathrm{fix}}$で、start date$s_{0}$のspot-lag営業日前である。
\[V_{\mathrm{opt}}(t_{\mathrm{fix}}) = (S(t_{\mathrm{fix}}) - R_{\mathrm{fix}})^{+}A(t_{\mathrm{fix}})\]martingale formula $\eqref{2_1_martingale_formula}$ より、
\[\begin{equation} V_{\mathrm{opt}}(t) = A(t) \mathrm{E}^{A} \left[ \left. \frac{V_{\mathrm{opt}}(t_{\mathrm{fix}})}{A(t_{\mathrm{fix}})} \right| \mathcal{F}_{t} \right] = A(t) \mathrm{E}^{A} \left[ \left. (S(t_{\mathrm{fix}}) - R_{\mathrm{fix}})^{+} \right| \mathcal{F}_{t} \right] \label{2_3_value_of_swaption} \end{equation}\]特に、0でのswaptionの価値は
\[\begin{equation} V_{\mathrm{opt}}(0) = A(0) \mathrm{E}^{A} \left[ \left. (S(t_{\mathrm{fix}}) - R_{\mathrm{fix}})^{+} \right| \mathcal{F}_{0} \right] \label{2_4_a_value_of_today_swaption} \end{equation}\]annuity measureの下forward swap rateはマルチンゲールなので
\[\begin{equation} \mathrm{E}^{A} \left[ \left. S(t_{\mathrm{fix}}) \right| \mathcal{F}_{0} \right] = S(0) =: S_{0} \label{2_4_b_swap_rate_} \end{equation}\]実際にpricingする為に、forward swap rate$S(t_{\mathrm{fix}})$のmodel(e.g. Black’s model, Heston’s model, SABR model)を考える。
2.1 CMS caplets
$t_{p}$で以下のpayoffを支払うCMS capletを考える。
\[\begin{equation} (S(t_{\mathrm{fix}}) - K)^{+}, \label{2_6_caplet_payoff} \end{equation}\] \[\begin{equation} V_{\mathrm{CMScap}}(t) = A(t) \mathrm{E}^{A} \left[ \left. \frac{ (S(t_{\mathrm{fix}}) - K)^{+}P(t_{\mathrm{fix}}, t_{p}) }{ A(t_{\mathrm{fix}}) } \right| \mathcal{F}_{t} \right], \label{2_7_a_value_of_cms_cap} \end{equation}\]とくに、todayの場合は、
\[\begin{equation} V_{\mathrm{CMScap}}(0) = A(0) \mathrm{E}^{A} \left[ \left. \frac{ (S(t_{\mathrm{fix}}) - K)^{+}P(t_{\mathrm{fix}}, t_{p}) }{ A(t_{\mathrm{fix}}) } \right| \mathcal{F}_{0} \right], \label{2_7_b_value_of_today_cms_cap} \end{equation}\]である。 $P(t, t_{p}) / A(t_{\mathrm{fix}})$はマルチンゲールであるから
\[\begin{eqnarray} & & \mathrm{E}^{A} \left[ \left. \frac{P(t_{\mathrm{fix}}, t_{p})}{A(t_{\mathrm{fix}})} \right| \mathcal{F}_{0} \right] = \frac{P(0, t_{p})}{A(0)} \label{2_8_annuity} \\ & \iff & \mathrm{E}^{A} \left[ \left. \frac{ \frac{P(t_{\mathrm{fix}}, t_{p})}{A(t_{\mathrm{fix}})} }{ \frac{P(0, t_{p})}{A(0)} } \right| \mathcal{F}_{0} \right] = 1 \nonumber \end{eqnarray}\]である。
\[\begin{eqnarray} V_{\mathrm{CMScap}}(0) & = & A(0) \mathrm{E}^{A} \left[ \left. \frac{ (S(t_{\mathrm{fix}}) - K)^{+}P(t_{\mathrm{fix}}, t_{p}) }{ A(t_{\mathrm{fix}}) } \right| \mathcal{F}_{0} \right] \nonumber \\ & = & P(0, t_{p}) \mathrm{E}^{A} \left[ \left. (S(t_{\mathrm{fix}}) - K)^{+} \frac{ \frac{P(t_{\mathrm{fix}}, t_{p})}{A(t_{\mathrm{fix}})} }{ \frac{P(0, t_{p})}{A(0)} } \right| \mathcal{F}_{0} \right] \label{2_9_value_of_cms_caplet} \\ & = & P(0, t_{p}) \mathrm{E}^{A} \left[ \left. (S(t_{\mathrm{fix}}) - K)^{+} \right| \mathcal{F}_{0} \right] - P(0, t_{p}) \mathrm{E}^{A} \left[ \left. (S(t_{\mathrm{fix}}) - K)^{+} \right| \mathcal{F}_{0} \right] + P(0, t_{p}) \mathrm{E}^{A} \left[ \left. (S(t_{\mathrm{fix}}) - K)^{+} \frac{ \frac{P(t_{\mathrm{fix}}, t_{p})}{A(t_{\mathrm{fix}})} }{ \frac{P(0, t_{p})}{A(0)} } \right| \mathcal{F}_{0} \right] \nonumber \\ & = & P(0, t_{p}) \mathrm{E}^{A} \left[ \left. (S(t_{\mathrm{fix}}) - K)^{+} \right| \mathcal{F}_{0} \right] + P(0, t_{p}) \mathrm{E}^{A} \left[ \left. (S(t_{\mathrm{fix}}) - K)^{+} \left( \frac{ \frac{P(t_{\mathrm{fix}}, t_{p})}{A(t_{\mathrm{fix}})} }{ \frac{P(0, t_{p})}{A(0)} } - 1 \right) \right| \mathcal{F}_{0} \right] \label{2_10_value_of_today_cms_cap} \end{eqnarray}\]最初の項は、european swaptionの価格である。 第二項はconvexity correctionとよばれる項である。 $\eqref{2_8_annuity}$より、第二項の期待値は0である。
ここで、$P$と$A$の比を$S$の関数として以下のようにmodel化することを考える。
\[\begin{eqnarray} G(S(t_{\mathrm{fix}})) & := & \frac{P(t_{\mathrm{fix}}, t_{p})}{A(t_{\mathrm{fix}})}, \label{2_11_a_def_annuity_mapping_function} \\ G(S(0)) & := & \frac{P(0, t_{p})}{A(0)}, \label{2_11_b_def_annuity_mapping_function} \end{eqnarray}\]$G$を使うとconvexity correctionは以下で定義できる。
\[\begin{equation} cc := P(0, t_{p}) \mathrm{E}^{A} \left[ \left. (S(t_{\mathrm{fix}}) - K)^{+} \left( \frac{G(S(t_{\mathrm{fix}}))}{ G(S(0)) } - 1 \right) \right| \mathcal{F}_{0} \right] \label{2_12_der_convexity_correction} \end{equation}\]$G$のstreet-standard modelとして、以下の関数形が知られている。
\[\begin{equation} G(S) := \frac{S(t_{\mathrm{fix}})}{(1 + \frac{S}{q})^{\Delta}} \frac{ 1 }{ 1 - \frac{S(t_{\mathrm{fix}})}{(1 + \frac{S}{q})^{n}} } \label{2_13_a_annuity_mapping_function} \end{equation}\]ここで、$q$は参照しているswapの1年での支払い回数である。 例えば、swapの支払いがsemi-annualであれば$q=2$で、quarterlyであれば$q=4$である。 $\Delta$は
\[\begin{equation} \Delta := \frac{t_{p} - s_{0}}{s_{1} - s_{0}} \label{2_13_b_ratio_of_date} \end{equation}\]として定義する。 $\Delta$は、支払日とstart日が等しいset-in-arreasであれば$\Delta=0$で、end日に支払いをするset-in-advanceであれば、swapの支払い期間に応じてきまる。
$f$をなめらかな関数とすると、$\forall S$について
\[\begin{eqnarray*} f(S) & = & f(K) + \int_{K}^{S} f^{\prime}(x) \ dx \\ & = & f(K) + \int_{K}^{\infty} 1_{(-\infty, S]}(x)f^{\prime}(x) \ dx \\ & = & f(K) - \left[ (S - x)^{+}f^{\prime}(x) \right]_{K}^{\infty} + \int_{K}^{\infty} (S - x)^{+} f^{\prime\prime}(x) \ dx \\ & = & f(K) + (S - K)^{+}f^{\prime}(K) + \int_{K}^{\infty} (S - x)^{+} f^{\prime\prime}(x) \ dx. \end{eqnarray*}\]である。 特に、$S < K$の場合は、第二項、第三項は0になることに注意する。 よって、 $f(K) = 0$を満たすとすると、
\[\begin{equation} (S - K)^{+}f^{\prime}(K) + \int_{K}^{\infty} (S - x)^{+} f^{\prime\prime}(x) \ dx = \begin{cases} f(S) & (S > K) \\ 0 & (S < K) \end{cases}, \end{equation}\]となる。 ここで、
\[\begin{eqnarray} g_{\mathrm{cap}}(x) & := & (x - K)^{+} \left( \frac{G(x)}{G(S(0))} - 1 \right), \label{2_15_def_of_payoff} \\ g_{\mathrm{cap}}^{\prime}(x) & = & 1_{[K, \infty)}(x) \left( \frac{G(x)}{G(S(0))} - 1 \right) + (x - K)^{+} \left( \frac{G(x)}{G(S(0))} - 1 \right)^{\prime} \end{eqnarray}\]とおくと、$\eqref{2_12_der_convexity_correction}$に代入すると
\[\begin{eqnarray} cc & = & P(0, t_{p}) \mathrm{E} \left[ \left. g_{\mathrm{cap}}(S(t_{\mathrm{fix}})) \right| \mathcal{F}_{0} \right] \nonumber \\ & = & P(0, t_{p}) \mathrm{E} \left[ \left. g_{\mathrm{cap}}^{\prime}(K)(S(t_{\mathrm{fix}}) - K)^{+} + \int_{K}^{\infty} (S(t_{\mathrm{fix}}) - x)^{+}g_{\mathrm{cap}}^{\prime\prime}(x)\ dx \right| \mathcal{F}_{0} \right] \nonumber \\ & = & P(0, t_{p}) \left( g_{\mathrm{cap}}^{\prime}(K) \mathrm{E} \left[ \left. (S(t_{\mathrm{fix}}) - K)^{+} \right| \mathcal{F}_{0} \right] + \int_{K}^{\infty} \mathrm{E} \left[ \left. (S(t_{\mathrm{fix}}) - x)^{+}\ \right| \mathcal{F}_{0} \right] g_{\mathrm{cap}}^{\prime\prime}(x) dx \right) \label{2_16_convexity_correction} \end{eqnarray}\]また、$\eqref{2_10_value_of_today_cms_cap}$に代入すると、swaptionの価値は$\eqref{2_4_a_value_of_today_swaption}$なので、
\[\begin{eqnarray} V_{\mathrm{CMScap}}(0) & = & P(0, t_{p}) \mathrm{E}^{A} \left[ \left. (S(t_{\mathrm{fix}}) - K)^{+} \right| \mathcal{F}_{0} \right] + P(0, t_{p}) \left( g_{\mathrm{cap}}^{\prime}(K) \mathrm{E}^{A} \left[ \left. (S(t_{\mathrm{fix}}) - K)^{+} \right| \mathcal{F}_{0} \right] + \int_{K}^{\infty} \mathrm{E}^{A} \left[ \left. (S(t_{\mathrm{fix}}) - x)^{+}\ \right| \mathcal{F}_{0} \right] g_{\mathrm{cap}}^{\prime\prime}(x) dx \right) \nonumber \\ & = & P(0, t_{p}) \frac{A(0)}{A(0)} \left( \mathrm{E}^{A} \left[ \left. (S(t_{\mathrm{fix}}) - K)^{+} \right| \mathcal{F}_{0} \right] + g_{\mathrm{cap}}^{\prime}(K) \mathrm{E}^{A} \left[ \left. (S(t_{\mathrm{fix}}) - K)^{+} \right| \mathcal{F}_{0} \right] + \int_{K}^{\infty} \mathrm{E}^{A} \left[ \left. (S(t_{\mathrm{fix}}) - x)^{+}\ \right| \mathcal{F}_{0} \right] g_{\mathrm{cap}}^{\prime\prime}(x) dx \right) \nonumber \\ & = & \frac{P(0, t_{p})}{A(0)} \left( C(K)(1 + g_{\mathrm{cap}}^{\prime}(K)) + \int_{K}^{\infty} C(x) g_{\mathrm{cap}}^{\prime\prime}(x) dx \right) \end{eqnarray}\] \[C(x) := A(0) \mathrm{E} \left[ \left. (S(t_{\mathrm{fix}}) - x)^{+} \right| \mathcal{F}_{0} \right]\]とおく。
よって、european swaptionの異なるstirkeで積分したもので表現できる。
- replication methodは、CMS legを正確に表現する手法
2.2 CMS floorlets and swaplets
\[\begin{equation*} g_{\mathrm{floor}}(x) := (K - x)^{+} \left( \frac{G(x)}{G(S(0))} - 1 \right), \end{equation*}\] \[g_{\mathrm{floor}}^{\prime}(x) = 1_{(-\infty, K]}(x) \left( \frac{G(x)}{G(S(0))} - 1 \right) + (K - x)^{+} \left( \frac{G(x)}{G(S(0))} - 1 \right)^{\prime}\]同様に、$f$がなめらかな関数とすると
\[\begin{eqnarray*} f(S) & = & f(K) + \int_{K}^{S} f^{\prime}(x) \ dx \\ & = & f(K) - \int_{S}^{K} f^{\prime}(x) \ dx \\ & = & f(K) - \int_{-\infty}^{K} 1_{[S, \infty)}(x)f^{\prime}(x) \ dx \\ & = & f(K) - \left[ (x - S)^{+}f^{\prime}(x) \right]_{-\infty}^{K} + \int_{-\infty}^{K} (x - S)^{+} f^{\prime\prime}(x) \ dx \\ & = & f(K) - (K - S)^{+}f^{\prime}(K) + \int_{-\infty}^{K} (x - S)^{+} f^{\prime\prime}(x) \ dx. \end{eqnarray*}\]より
\[\begin{eqnarray*} cc & = & P(0, t_{p}) \mathrm{E} \left[ \left. g_{\mathrm{floor}}(S(t_{\mathrm{fix}})) \right| \mathcal{F}_{0} \right] \\ & = & P(0, t_{p}) \mathrm{E} \left[ \left. -g_{\mathrm{floor}}^{\prime}(K)(K - S(t_{\mathrm{fix}}))^{+} + \int_{-\infty}^{K} (x - (t_{\mathrm{fix}}))^{+}g_{\mathrm{floor}}^{\prime\prime}(x)\ dx \right| \mathcal{F}_{0} \right] \\ & = & P(0, t_{p}) \left( - g_{\mathrm{floor}}^{\prime}(K) \mathrm{E} \left[ \left. (K - S(t_{\mathrm{fix}}))^{+} \right| \mathcal{F}_{0} \right] + \int_{-\infty}^{K} \mathrm{E} \left[ \left. (x - S(t_{\mathrm{fix}}))^{+}\ \right| \mathcal{F}_{0} \right] g_{\mathrm{floor}}^{\prime\prime}(x) dx \right) \end{eqnarray*}\] \[\begin{eqnarray} V_{\mathrm{CMSfloor}}(0) & = & P(0, t_{p}) \mathrm{E}^{A} \left[ \left. (x - S(t_{\mathrm{fix}}))^{+} \right| \mathcal{F}_{0} \right] + P(0, t_{p}) \left( - g_{\mathrm{floor}}^{\prime}(K) \mathrm{E}^{A} \left[ \left. (x - S(t_{\mathrm{fix}}))^{+} \right| \mathcal{F}_{0} \right] + \int_{-\infty}^{K} \mathrm{E}^{A} \left[ \left. (x - S(t_{\mathrm{fix}}))^{+} \right| \mathcal{F}_{0} \right] g_{\mathrm{floor}}^{\prime\prime}(x) dx \right) \nonumber \\ & = & P(0, t_{p}) \frac{A(0)}{A(0)} \left( \mathrm{E}^{A} \left[ \left. (x - S(t_{\mathrm{fix}}))^{+} \right| \mathcal{F}_{0} \right] - g_{\mathrm{floor}}^{\prime}(K) \mathrm{E}^{A} \left[ \left. (x - S(t_{\mathrm{fix}}))^{+} \right| \mathcal{F}_{0} \right] + \int_{-\infty}^{K} \mathrm{E}^{A} \left[ \left. (x - S(t_{\mathrm{fix}}))^{+} \right| \mathcal{F}_{0} \right] g_{\mathrm{floor}}^{\prime\prime}(x) dx \right) \nonumber \\ & = & \frac{P(0, t_{p})}{A(0)} \left( P(K)(1 - g_{\mathrm{floor}}^{\prime}(K)) + \int_{-\infty}^{K} P(x) g_{\mathrm{floor}}^{\prime\prime}(x) dx \right) \end{eqnarray}\]ここで、$P$はreciever’s swaptionの現在価値である。
\[\begin{eqnarray*} V_{\mathrm{CMSswap}}(0) & := & A(0) \mathrm{E} \left[ \left. \frac{ (S(t_{\mathrm{fix}}) - K)P(t_{\mathrm{fix}}, t_{p}) }{ A(t_{\mathrm{fix}}) } \right| \mathcal{F}_{0} \right] \\ & = & A(0) \mathrm{E} \left[ \left. \frac{ (S(t_{\mathrm{fix}}) - K)P(t_{\mathrm{fix}}, t_{p}) }{ A(t_{\mathrm{fix}}) } \right| \mathcal{F}_{0} \right] \\ & = & A(0) \mathrm{E} \left[ \left. \frac{ (S(t_{\mathrm{fix}}) - K)^{+}P(t_{\mathrm{fix}}, t_{p}) }{ A(t_{\mathrm{fix}}) } - \frac{ (K - S(t_{\mathrm{fix}}))^{+}P(t_{\mathrm{fix}}, t_{p}) }{ A(t_{\mathrm{fix}}) } \right| \mathcal{F}_{0} \right] \\ & = & V_{\mathrm{CMScap}}(0) - V_{\mathrm{CMSfloor}}(0) \end{eqnarray*}\]また、
\[\begin{eqnarray*} C(K) - P(K) & = & A(0) \left( \mathrm{E}^{A} \left[ \left. S(t_{\mathrm{fix}}) - K \right| \mathcal{F}_{0} \right] \right) \\ & = & A(0)(S(0) - K), \end{eqnarray*}\]をあわせて、
\[\begin{eqnarray} V_{\mathrm{CMSswap}}(0) & = & \frac{P(0, t_{p})}{A(0)} \left( C(K)(1 + g_{\mathrm{cap}}^{\prime}(K)) + \int_{K}^{\infty} C(x)g_{\mathrm{cap}}^{\prime\prime}(x)\ dx \right) - \frac{P(0, t_{p})}{A(0)} \left( P(K)(1 + g_{\mathrm{floor}}^{\prime}(K)) - \int_{-\infty}^{K} P(x)g_{\mathrm{floor}}^{\prime\prime}(x)\ dx \right) \nonumber \\ & = & \frac{P(0, t_{p})}{A(0)} \left( (C(K) - P(K) + C(K)g_{\mathrm{cap}}^{\prime}(K) - P(K)g_{\mathrm{floor}}^{\prime}(K)) + \int_{-\infty}^{K} P(x)g_{\mathrm{floor}}^{\prime\prime}(x)\ dx + \int_{K}^{\infty} C(x)g_{\mathrm{cap}}^{\prime\prime}(x)\ dx \right) \nonumber \\ & = & P(0, t_{p}) \frac{(S - K)}{A(0)} (1 + f^{\prime}(K)) \frac{P(0, t_{p})}{A(0)} \left( + \int_{-\infty}^{K} P(x)f^{\prime\prime}(x)\ dx + \int_{K}^{\infty} C(x)f^{\prime\prime}(x)\ dx \right) \label{2_19_a_value_of_cms_swap} \end{eqnarray}\]