Totally Ordered Group
Linear Ordered Groupとも言う。 群に順序構造を付与したもので、順序関係の中で群の演算を保存する。
Definition
Definition. totally order
- $A$
- set
- $R$
- $G$上の二項関係
$R$が二項関係とは以下を満たすことを言う。
- $\forall a \in A$, $aRa$
- $\forall a, b \in A$
- $aRb, bRa \Leftrightarrow a = b$
- $\forall a, b, c \in A$
- $aRb, bRc \Leftrightarrow aRc$
順序関係の場合は$R$は$\le$や$\ge$が良く用いられる。
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Definition. left-ordered group
- $G$
- group
- $\le$
- $G$上の全順序関係
以下を満たす時、$(G, \le)$をleft ordered groupという。
\[\forall a, b, c \in G, \ a \le b \Leftrightarrow c + a \le c + b,\]■
Definition. right-ordered group
- $G$
- group
- $\le$
- $G$上の全順序関係
以下を満たす時、$(G, \le)$をright ordered groupという。
\[\forall a, b, c \in G, \ a \le b \Leftrightarrow a + c \le b + c,\]■
Definition. bi-ordered group
- $G$
- group
- $\le$
- $G$上の全順序関係
left-orderedかつright-orderedのとき、$(G, \le)$をbi-ordered groupという。
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Remark
- $G$がAbelian Groupの時は、Abelian Totally Ordered Groupともいう。
- 0を$G$の単位元とすると、$a \in G$が$0 \le a$の時$a$をpositiveという。
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