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Topology

Topology

Example

The intersection of an open set and a closed set can be open/closed or neighter.

$B \subseteq A$ and $A$ is open and $B$ is closed. $B \cap A = B$ is closed.

$B \subseteq A$ and $A$ is closed and $B$ is open. $B \cap A = B$ is open.

In $\mathbb{R}$ with the usual topology, $A := (a, a + 2)$ is open and $ B := [a + 1, a + 2]$ is closed.

\[A \cap B = [a + 1, a + 2)\]

is neither oepn nor clsod.

■

Topology in metric space

$(S, d)$を距離空間とする。 $a \in S$, $\epsilon > 0$について、球体$B(a; \epsilon)$を以下で定義する。

\[B(a; \epsilon) := \left\{ x \mid x \in S, d(a, x) < \epsilon \right\}\] \[O_{d} := \left\{ O \subset S \mid \forall a \in O, \exists \epsilon >0, \mathrm{s.t. } B(a; \epsilon) \subset O \right\}\]

$S$の位相を$O_{d}$と$\emptyset$をからなる集合系$\mathcal{D}_{d}$として定義する。

Theorem

任意の距離空間$(S, d)$は第一可算公理を満足する。 また、第二可算公理を満足するためには、$S$が可分であることが必要十分である。

Proof

$\Box$

Def. Quotient topological space

$X$を位相空間とする。 $\sim$を$X$上の同値関係とする。 $Y := X/~$を商集合とし、$\pi:X \rightarrow Y$を標準射影とする。 このとき、$\pi$を連続とする最強の位相$\mathcal{O}$とすると、$(Y, \mathcal{O})$を商位相空間という。

Lemma

$X$を集合、$(Y, \mathcal{O}_{Y})$を位相空間とする。 $f:X \rightarrow Y$とすると、以下で定義される集合族は$f$を連続にする$X$の最弱の位相である。

\[\begin{equation} \mathcal{O}_{X} := \{f^{-1}(O_{Y}) \mid O_{Y} \subset \mathcal{O}_{Y} \} \end{equation}\]

Lemma

$(X, \mathcal{O}_{X})$を位相空間、$Y$を集合とする。 $f:X \rightarrow Y$とすると、以下で定義される集合族は$f$を連続にする$Y$の最強の位相である。

\[\begin{equation} \mathcal{O}_{Y} := \{O_{Y} \subset Y \mid f^{-1}(O_{Y}) \in \mathcal{O}_{X} \} \end{equation}\]

Lemma(quotient topological spaces and countable basis)

$X$がtopological spacesとする。 $\sim$が$X$上のequivalenceとする。 $Y := X / \sim$をquotient topological spaceとし、$\pi: X \rightarrow Y$をquotient mapとする。 $X$がcountable basisを持つとすると、$Y$はcountable basisをもつ。

proof.

$\{A_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}$を$X$のcountable basisとする。 $B \subset Y$をopenとすると、 $\pi^{-1}(B)$はopenである。 よって、

\[\exists \{A_{i}\}_{i \in I} \subset \{A_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}, \pi^{-1}(B) = \bigcup_{i \in I} A_{i}\]

となる。 $\pi$が全射かつ開写像より、

\[\begin{eqnarray} & & \pi^{-1}(B) = \bigcup_{i \in I} A_{i} \nonumber \\ & \iff & B = \pi(\bigcup_{i \in I} A_{i}) \nonumber \\ & \iff & B = \bigcup_{i \in I} \pi(A_{i}) \end{eqnarray}\]

となる。 $B$は任意だったので、\(\{ \pi(A_{n}) \}_{n \in \mathbb{N}}\)がcountable basisとなる。

$\Box$

Definition Adherent point

$x$ is an adherent point, closure point, point of closure, contact point of $S$ if

\[\forall U \in \mathcal{U}(x), \quad S \cap U \neq \emptyset .\]

We denote all adherent points of $S$ $\mathrm{Cl}(S)$.

■

Definition Limit point/Accumulation Point

$x$ is a limit point or cluter point or accumulation point of $S$ if

\[\forall U \in \mathcal{U}(x), \quad (S \setminus \{x\}) \cap U \neq \emptyset .\]

We denote the set of all limit points of $S$ as $L(S)$.

■

Propositoin

(1) $x$ is a limit point of $S$ if and only if $x$ \in $\mathrm{cl}(S \setminus {x})$.

proof

$\Box$

Definition Boundary

The boundary of $S$ is

\[\partial S := \{ x \in X \mid \forall U \in \mathcal{U}(x), \ U \cap S \neq \emptyset, \ O \cap (X \setminus) \neq \emptyset \} .\]
■

Prposition

The following are all equivalent.

(1) $A = S \cup L(S)$.

(2) $A = \mathrm{Cl}(S)$

(3)

\[\mathcal{A} := \{ F \subseteq X \mid F^{c} \in \mathcal{O}_{X}, \ S \subseteq F \}, A = \bigcap_{F \in \mathcal{A}}F .\]

(4) $A$ is the smallest closed set containg $S$.

(5) $A = S \cup \partial S$

(6)

proof

(3) $\Leftrightarrow$ (4)

This is done by the standard procedure.

$\Box$

Definition Closure

The closure $\mathrm{cl}(S)$ of $S$ is defined as

\[\mathrm{cl}(S) := \mathrm{Cl}(S) .\]
■

Proposition

(1) $S \subseteq \mathrm{cl}(S)$

(2) $S$ is closed if and only if $S = \mathrm{cl}(S)$.

(3) If $S \subseteq T$, $\mathrm{cl}(S) \subseteq \mathrm{cl}(T)$.

(4) If $F$ is closed, $\mathrm{cl}(S) \subseteq F$ if and only if $S \subseteq F$.

(5) If $S, T$ are open and $S \cap T = \emptyset$, $\mathrm{cl}(S) \cap T = \emptyset$.

proof

(5)

Assume that $\mathrm{cl}(S) \cap T \neq \emptyset$. Let $x \in \mathrm{cl}(S) \cap T$. There is open map $U \in \mathcal{U}(x)$ such that $U \cap S \neq \emptyset$. Particularly, $x \in U \cap S$. On the other hand, $x \in T$. Thus $x \in U \cap T$.

\[\emptyset \neq (U \cap T) \cap (U \cap S) = U \cap T \cap S = \emptyset .\]
$\Box$

Definition $\mathrm{T}_{1}$

$(X, \mathcal{O}_{X})$ is said to be a hausdorff spaces if

\[x, y \in X, x \neq y, \quad \exists U \in \mathcal{N}(x), \exists V \in \mathcal{N}(y) \text{ s.t. } U \cap V = \emptyset.\]
■

Proposition

(1) ${x}$ is closed.

proof

$\Box$

Definition Hausdorff spaces

$(X, \mathcal{O}_{X})$ is said to be a hausdorff spaces if

\[p, q \in X, \quad \exists U, V \in \mathcal{O}_{X} \text{ s.t. } U \cap V, \ p \in U, q \in V.\]
■

Proposition

(1) $X$ is $T_{1}$ space.

(2) If $C \subseteq X$ compact, $C$ is closed.

proof

$\Box$

Definition. Compact

For every open covers \(\{A_{i}\}\) of $X$ has a finite subcover.

$X$ is said to be a locally compact if for all $x \in X$, there is a compact neighbor $x \in U \in \mathcal{O}_{X}$.

■

Definition Weak Hausdorff spaces

$(X, \mathcal{O}_{X})$ is said to be a weak Hausdorff spaces if for any compact Hausdorff space $K$, every continuous map $f: K \rightarrow X$, $f(K)$ is closed.

■

Lemma (equivalent condition to Hausdorff spaces)

$(X, \mathcal{O}_{X})$をtopological spacesとする。 以下は同値

  1. $X \times X$上\(A := \{ (x, x) \in X \times X \mid x \in X\}\)が閉である
  2. $X$がHausdorff spaces

proof.

1 $\Rightarrow$ 2を示す。 $x, y \in X, x \neq y$とすると、 $(x, y) \in A^{c}$である。 直積位相は、\(\{ U \times V \mid U, V \in \mathcal{O}_{X} \}\)を基底に持つ。 $A^{c}$がopenより、$U, V \in \mathcal{O}_{X}$で、$(x, y) \in U \times V \subset A^{c}$とできる。 $U \cap V = \emptyset$である。 実際、$U \cap V \neq \emptyset$とすると、$z \in U \cap V$について、$(z ,z) \in U \times V$となるが、$U \times V \subset A^{c}$に矛盾する。 よって、$x \in U, y \in Y, U \cap V = \emptyset$となる。 $x, y$は任意だったので、$X$はHausdorffとなる。

2 $\Rightarrow$ 1を示す。 $A^{c}$がopenであることを示す。 $A^{c} \subset A^{ci}$を示せば良いが、その為には$p \in A^{c}$について、$O \subset A^{c}$がopenで, $p \in O$を示せば良い。 $\forall (x, y) \in A^{c}$とすると、$x \neq y$と$X$がHausdorffより、\(x \in U \in \mathcal{O}_{X}\), \(y \in V \in \mathcal{O}_{X}\), $U \cap V = \emptyset$とできる。 $(x, y) \in U \times V$で、$U \times V \subset A^{c}$である。 実際、$U \times V \subset A^{c}$でないとすると、$U \times V \cap A \neq \emptyset$より、$(z, z) \in U \times V \cap A$が存在する。 $U \subset V = \emptyset$であったから、$z \in U$, $z \in V$となり矛盾する。 よって、$A^{c}$はopenである。

$\Box$

Lemma.

$(X, \mathcal{O}_{X})$をtopological spacesとする。 $\sim$を$X$上の同値関係とする。 以下は同値

  1. $X \times X$上\(A := \{ (x_{1}, x_{2}) \in X \times X \mid x_{1} \sim x_{2}\}\)が閉である
  2. $Y := X/\sim$がHausdorff spaces

proof.

2は以下と同値である。 1と以下が同値であることを示す。

1を仮定する。 $B^{c}$が開であることを示す。 $(y_{1}, y_{2}) \in B^{c}$, $y_{1} \neq y_{2}$である。

$\Box$

Example

位相空間\((X, \mathcal{O}_{X})\)の部分位相空間\((A, \mathcal{O}_{A})\)とする。

$X := (0, 1)$とし、\(\mathcal{O}_{X} := \{\emptyset, (0, 1/2), \{1/2\}, (0, 1/2], X\}\)とおくと、$(X, \mathcal{O}_{X})$は位相空間となる。 $A := (1/4, 1/2)$とおくと、\(\mathcal{O}_{A} := \{\emptyset, (1/4, 1/2), A\}\)となる。

$X := (0, 1)$とし、\(\mathcal{O}_{X} := \{\emptyset, (0, 1/4), (0, 1/2), (0, 3/4), X\}\)とおくと、$(X, \mathcal{O}_{X})$は位相空間となる。 $A := (0, 1/2)$とおくと、\(\mathcal{O}_{A} := \{\emptyset, (0, 1/4), A\}\)となる。

■

Lemma.

\((X, \mathcal{O}_{X})\), \((Y, \mathcal{O}_{Y})\)を位相空間とする。 $F:X \rightarrow Y$し、\(O_{X} \in \mathcal{O}_{X}\), \(O_{Y} \in \mathcal{O}_{Y}\)とする。

proof.

$\forall F(a) \in F(O_{X}^{c})$とすると、$a \in O_{X}^{c}$である。 $F(a) \notin F(O_{X})^{c}$とすると、$F(a) \in F(O_{X})$である。 よって、ある$b \in O_{X}$が存在して、$F(a) = F(b)$となる。 $F$が単射より、$a = b$となって矛盾。 よって、$F(O_{X}^{c}) \supset F(O_{X})^{c}$となる。

$y \in F(O_{X})^{c}$とする。 全射よりある$x \in X$が存在して$F(x) = y$となる。 $y \notin F(O_{X}^{c})$とすると、$F(x) \notin F(O_{X}^{c})$である。 よって、$x \in O_{X}$となるから、$y = F(x) \in F(O_{X})$となって矛盾。

$\Box$

Lemma.

\((X, \mathcal{O}_{X})\), \((Y, \mathcal{O}_{Y})\)を位相空間とする。 $F: X \rightarrow Y$とする。

proof.

$\forall a \in F^{-1}(B)^{c}$とすると、$F(a) \notin B$となる。 よって、$F(a) \in B^{c}$で、$a \in F^{-1}(B^{c})$となる。

$\Box$

Def(interior, closure)

$A \subset X$とすると、$A$の内部$\mathrm{Int}A$, $A^{\circ}$を以下で定義する。

\[\mathcal{O}(A) := \left\{ A^{\prime} \in \mathcal{O}_{X} \mid A^{\prime} \subseteq A \right\}, \quad A^{\circ} := \bigcup_{A^{\prime} \in \mathcal{O}(A)} A^{\prime}\]

$A$の内部は、$A$に含まれる開集合全体の和集合である。

$A$の外部$\overline{A}$を以下で定義する。　 $\mathcal{U}_{X}$を$X$の閉集合全体とする。

\[\mathcal{U}(A) := \left\{ A^{\prime} \in \mathcal{U}_{X} \mid A \subseteq A^{\prime} \right\}, \quad \overline{A} := \bigcap_{A^{\prime} \in \mathcal{A}} A^{\prime}\]

$A$の外部は、$A$を含む閉集合全体である。

■

Lemma

$A \subset X$

proof

$\forall B \in \mathcal{O}(A)$について、$B \subset A$より$B^{c} \supset A^{c}$となるから、$B^{c}$は$A$を含む閉集合である。

\[\begin{eqnarray} (A^{\circ})^{c} & = & (\bigcup_{B \in \mathcal{O}(A)} B)^{c} \nonumber \\ & = & \bigcap_{B \in \mathcal{O}(A)} B^{c} \nonumber \\ & = & \overline{A^{c}} \nonumber \end{eqnarray}\]

$\forall B \in \mathcal{U}(A)$について、$B \supset A$より$B^{c} \subset A^{c}$となるから、$B^{c}$は$A$をに含まれる開集合である。

\[\begin{eqnarray} (\overline{A})^{c} & = & (\bigcap_{B \in \mathcal{U}(A)} B)^{c} \nonumber \\ & = & \bigcup_{B \in \mathcal{U}(A)} B^{c} \nonumber \\ & = & (A^{c})^{\circ} \nonumber \end{eqnarray}\]
$\Box$

Definition continuous

$f$ is said to be continuous if

\[\forall O \mathcal{O}_{Y}, \ f^{-1}(O) \in \mathcal{O}_{X} .\]
■

Propositoin

(1) $f(O_{X})$ is not necessarily open

(2) $f(O_{X}^{c})$ is not necessarily open

(3) $f(X)$ is compact

(4)

proof

$\Box$

Reference