Set Theory
Symbol
Proposition
- $S$,
- $A \subseteq S$,
- $A_{i} \subseteq S$,
(1)
\[\cap_{i} (A_{i})^{c} = (\cap_{i} A_{i})^{c} .\](2)
\[(A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C) .\]proof
(1)
Since $\cap_{i} (A_{i})^{c} = \cap_{i} (S \setminus A_{i})$, the LHS means that $x \in A_{i}$ for all $i$.
On the other hand, since ($\cap_{i} A_{i})^{c} = S \setminus \cap_{i} (A_{i})^{c}$, $x \in \cap_{i} A_{i}$.
Definition Limit
集合の上極限$ \limsup_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ と下極限$ \liminf_{n \rightarrow \infty} A_{n}$を以下で定義する。
\[\limsup_{n \rightarrow \infty}A_{n} := \bigcap_{n = 1}^{\infty}\bigcup_{m = n}^{\infty} A_{m}\] \[\liminf_{n \rightarrow \infty}A_{n} := \bigcup_{n = 1}^{\infty}\bigcap_{m = n}^{\infty} A_{m}\]また、次が成り立つ時、$A_{n}$が$A$に収束するといい、$ \lim_{n \rightarrow \infty} A_{n} = A$とかく。
\[\limsup_{n \rightarrow \infty} A_{n} = \liminf_{n \rightarrow \infty} A_{n} = A\]Note1
次が成り立つ。
\[\liminf_{n \rightarrow \infty} A_{n} \subset \limsup_{n \rightarrow \infty} A_{n}\]Note2
次が成り立つ。 主張は以下の2つ。
- 集合の単調増大列は、極限をもつ
- その極限はすべての集合の和集合
Proof
まず以下が成り立つ。
\[A_{n} \subset A_{n+1} \Rightarrow \bigcup_{m=n}A_{n} = A_{n} \bigcup \left( \bigcup_{m=n+1}A_{n} \right) = \bigcup_{m=n+1}A_{n}\]よって、
\[\begin{eqnarray*} \limsup_{n \rightarrow \infty} A_{n} & = & \bigcap_{n = 1}^{\infty}\bigcup_{m = n}^{\infty} A_{m} \\ & = & \bigcap_{n = 1}^{\infty}\bigcup_{m = 1}^{\infty} A_{m} \\ & = & \bigcup_{m = 1}^{\infty} A_{m} \end{eqnarray*}\]また、以下が成り立つ。
\[A_{n} \subset A_{n+1} \Rightarrow \bigcap_{m=n}A_{n} = A_{n} \bigcap \left( \bigcap_{m=n+1}A_{n} \right) = A_{n}\]よって、
\[\begin{eqnarray*} \liminf_{n \rightarrow \infty} A_{n} & = & \bigcup_{n = 1}^{\infty}\bigcap_{m = n}^{\infty} A_{m} \\ & = & \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_{n} \end{eqnarray*}\]Note3
次が成り立つ。 主張は以下の2つ。
- 集合の単調減少列は、極限をもつ
- その極限はすべての集合の積集合
Proof
まず以下が成り立つ。
\[A_{n} \supset A_{n+1} \Rightarrow \bigcup_{m=n}A_{n} = A_{n} \bigcup \left( \bigcup_{m=n+1}A_{n} \right) = A_{n}\]よって、
\[\begin{eqnarray*} \limsup_{n \rightarrow \infty} A_{n} & = & \bigcap_{n = 1}^{\infty}\bigcup_{m = n}^{\infty} A_{m} \\ & = & \bigcap_{n = 1}^{\infty} A_{n} \\ & = & \bigcap_{n = 1}^{\infty} A_{n} \end{eqnarray*}\]また、以下が成り立つ。
\[A_{n} \supset A_{n+1} \Rightarrow \bigcap_{m=n}A_{n} = A_{n} \bigcap \left( \bigcap_{m=n+1}A_{n} \right) = \bigcap_{m=n+1}A_{n}\]よって、
\[\begin{eqnarray*} \liminf_{n \rightarrow \infty} A_{n} & = & \bigcup_{n = 1}^{\infty}\bigcap_{m = n}^{\infty} A_{m} \\ & = & \bigcup_{n = 1}^{\infty}\bigcap_{m = 1}^{\infty} A_{m} \\ & = & \bigcap_{m = 1}^{\infty} A_{m} \end{eqnarray*}\]Theorem
$M \neq \emptyset \subset S$とする。 以下は同値。
- $a \in S$が$M$の触点
- $a$がある点列$(a_{n})$の極限点
proof
Diameter
$(S, d)$を距離空間とする。 $A \subset S$の直径$\delta(A)$を以下で定義する。
\[\delta(A) := \sup \left\{ d(x, y) \mid x \in A, y \in A \right\} \le \infty\]$\delta(A) \le \infty$の時、$A$を有界という。
Note1
以下は同値。
- $\delta(A) = 0$
- $A$が一点からなる集合
Note2
以下が成立。
\[A \subset B \Rightarrow \delta(A) \leq \delta(B)\]Distance between point and set
$(S, d)$を距離空間とする。 $A \subset S$と$x \in S$の距離$d_{A}$を次で定める。
\[d_{A}(x) := \inf \left\{ d(x, a) \mid a \in A \right\}\]Distance between set and set
$(S, d)$を距離空間とする。 $A, B \subset S$とする。 $A, B$の距離を以下で定義する。
\[d(A, B) := \inf \left\{ d(a, b) \mid a \in A, b \in B \right\}\]Note1
以下が成り立つ。
- $0 \leq d(A, B) \le \infty$
- $d(A, B) = d(B, A)$
- $d({x}, {y}) = d(x, y)$
Note2
$A = {x}$の場合は$d({x}, B) = d_{B}(x)$で、集合と点の距離になる。
lemma
$(S, d)$を距離空間とする。 $x \in S$, $A \neq \emptyset \subset S$に対して、
\[d(x, A) = 0 \iff x \in \bar{A}\]Proof
lemma
$x, y \in S$, $A \neq \emptyset \subset S$とする。
\[\left| d(x, A) - d(y, A) \right| \leq d(x, y)\]Proof
$\forall z \in A$について、
\[d(x, A) \leq d(x,z) \leq d(x, y) + d(y, z)\]が成立。 したがって、
\[d(x, A) - d(x, y) \leq d(y, A)\]より
\[d(x, A) - d(y, A) \leq d(x, y)\]が成立。 同様に
\[d(y, A) - d(x, y) \leq d(x, A)\]から
\[d(y, A) - d(x, A) \leq d(x, y)\]となる。
$\epsilon$-neighborhood
$(S, d)$を距離空間とする。 $A \subset S$, $\epsilon > 0$に対して、$A$の$\epsilon$近傍$A^{\epsilon}$を次で定義する。
\[A \subset A^{\epsilon} := \left\{ a \in S \mid d_{A}(a) < \epsilon \right\}\]Note1
Def. (inverse map)
$X, Y$を集合とし、$f:X \rightarrow Y$とする。 inverse map $f^{-1}:Y \rightarrow X$を以下で定義する。
\[B \subset Y, f^{-1}(B) := \{x \in X \mid f(x) \in Y\}\]Proposition
\[\begin{eqnarray} & & P_{1} \subset P_{2} \Rightarrow f(P_{1}) \subset f(P_{2}) \\ & & f(P_{1} \cup P_{2}) = f(P_{1}) \cup f(P_{2}) \\ & & f(P_{1} \cap P_{2}) \subset f(P_{1}) \cap f(P_{2}) \\ & & f(A - P) \supset f(A) - f(P) \\ & & Q_{1} \subset Q_{2} \Rightarrow f^{-1}(Q_{1}) \subset f^{-1}(Q_{2}) \\ & & f^{-1}(Q_{1} \cup Q_{2}) = f^{-1}(Q_{1}) \cup f^{-1}(Q_{2}) \\ & & f^{-1}(Q_{1} \cap Q_{2}) = f^{-1}(Q_{1}) \cap f^{-1}(Q_{2}) \\ & & f^{-1}(B-Q) = A - f^{-1}(Q) \\ & & f^{-1}(f(P)) \supset P \label{4_5} \\ & & f(f^{-1}(Q)) \subset Q \label{4_5_prime} \end{eqnarray}\]さらに、$f$が単射とすると、
\[\begin{equation} f^{-1}(f(P)) = P \label{4_5_one_to_one} \end{equation}\]となる。 また、$f$が全射とすると、
\[\begin{eqnarray} f(f^{-1}(Q)) = Q \label{4_5_prime_onto} \end{eqnarray}\]となる。
proof.
\(\eqref{4_5}\)を示す。 $\forall p \in P$とする。
\[f^{-1}(f(P)) = \{x \in A \mid f(x) \in f(P)\}\]よって、$f(p) \in f(P)$より$p \in f^{-1}(f(P))$となる。 また、$f$が単射とすると、等号で成り立つ。 実際、$\forall p \in f^{-1}(f(P))$とする。 $f(p) \in f(P)$より、$\exists p^{\prime} \in P$, $f(p) = f(p^{\prime})$となる。 $f$が単射より、$p = p^{\prime} \in P$が成り立ち等号が成立する。
\(\eqref{4_5_prime}\)を示す。 $\forall q \in f(f^{-1}(Q))$とする。 $\exists p \in f^{-1}(Q)$, $f(p) = q$である。 $p \in f^{-1}(Q)$より、$q = f(p) \in Q$となって成立。 $f$が全射とする。 $q \in Q$とすると、$f$が全射より$\exists p \in A$, $f(p) = q \in Q$である。 よって、$p \in f^{-1}(Q)$であり、$q \in f(f^{-1}(Q))$となる。
Existense of emptyset
$\exists x (x = x)$ is a formal statements of
Reference
- http://jeff560.tripod.com/set.html
- axioms - Is the Bourbaki treatment of Set Theory outdated? - Mathematics Stack Exchange