Notations
- $R$
- 可換な整域とする
Formal Polynomial Ring
\[R[[x]] := \left\{ \sum_{i=0}^{\infty} a_{i}x^{i} \mid a_{i} \in R \right\}\]$R[[x]]$に以下の和と積の演算を与えたものをFormal Polynomial Ringという。 $\sum_{i=0}^{\infty} a_{i}x^{i}$は\(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\)の元を級数の形に表現しているに過ぎない。 その意味でFormal series（形式的べき級数）という。 $f, g \in R[[x]]$について、
\[\begin{eqnarray} f(x) & = & \sum_{i=0}^{\infty} a_{i}x^{i} \nonumber \\ g(x) & = & \sum_{i=0}^{\infty} b_{i}x^{i} \nonumber \end{eqnarray}\]とする。
\[\begin{eqnarray} f(x) + g(x) & := & \sum_{i=0}^{\infty} (a_{i} + b_{i})x^{i} \nonumber \\ f(x)g(x) & := & \sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j + k = i} (a_{j}b_{k})x^{i} \nonumber \\ & = & \sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{i} (a_{j}b_{i - j})x^{i} \nonumber \end{eqnarray}\]更に以下のように商を定義することもできる。 Formal Polynomial Ringに以下の商を与えたものは、Formal Polynomial Ringの分数体になる。
\[\begin{eqnarray} \frac{f(x)}{g(x)} & := & h(x) \nonumber \end{eqnarray}\]ここで、$h \in R[[x]]$は以下を満たす。
\[\begin{eqnarray} h(x) & = & \sum_{i=0}^{\infty} c_{i}x^{i} \nonumber \\ f(x) & = & g(x)h(x) \nonumber \\ \sum_{i=0}^{\infty} a_{i}x^{i} & = & \sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j + k = i} (b_{j}c_{k})x^{i} \nonumber \end{eqnarray}\]最初の数項を書き下すと、
\[\begin{eqnarray} a_{0} & = & b_{0}c_{0} \nonumber \\ a_{1} & = & b_{0}c_{1} + b_{1}c_{0} \nonumber \\ a_{2} & = & b_{0}c_{2} + b_{1}c_{1} + b_{2}c_{0} \nonumber \\ & \vdots & \nonumber \end{eqnarray}\]上から順番にとくと
\[\begin{eqnarray} c_{0} & = & \frac{a_{0}}{b_{0}} \nonumber \\ c_{1} & = & \frac{1}{b_{0}} \left( a_{1} - b_{1}c_{0} \right) \nonumber \\ c_{2} & = & \frac{1}{b_{0}} \left( a_{2} - b_{1}c_{1} - b_{2}c_{0} \right) \nonumber \\ \nonumber \\ & = & \frac{1}{b_{0}} \left( a_{2} - \sum_{i=1}^{2} b_{i}c_{2-i} \right) \nonumber \\ & \vdots & \nonumber \\ c_{n} & = & \frac{1}{b_{0}} \left( a_{n} - \sum_{i=1}^{n} b_{i}c_{n-i} \right) \nonumber \end{eqnarray}\]Ring of Formal Laurent series
\[R((x)) := \left\{ \sum_{i=w}^{\infty} a_{i}x^{i} \mid w \in \mathbb{Z}, \ a_{i} \in R \right\}\]とする。 $R((x))$に以下の和と積の演算を付与したものをRing of Formal Laurent Seriesと呼ぶ。 $f, g \in R((x))$について
\[\begin{eqnarray} f(x) & = & \sum_{i=w_{f}}^{\infty} a_{i}x^{i} \nonumber \\ g(x) & = & \sum_{i=w_{g}}^{\infty} b_{i}x^{i} \nonumber \end{eqnarray}\]とする。
\[\begin{eqnarray} f(x) + g(x) & := & \sum_{i=\min(w_{f}, w_{g})}^{\infty} (a_{i} + b_{i})x^{i} \nonumber \\ f(x)g(x) & := & \sum_{i=w_{f} + w_{g}}^{\infty} \sum_{j=w_{f} + w_{g}}^{i} (a_{j - w_{g}}b_{i - j + w_{g}})x^{i} \nonumber \\ & = & \sum_{i=w_{f} + w_{g}}^{\infty} \sum_{j=0}^{i - w_{f} - w_{g}} (a_{w_{f} + j}b_{w_{g} + i - j})x^{i} \nonumber \end{eqnarray}\]但し、和の定義において\(w_{f} \le w_{g}\)ならば
\[\begin{eqnarray} \forall i = w_{f}, w_{f} + 1, \ldots, w_{g}, \quad b_{i} & = & 0 \nonumber \end{eqnarray}\]であり、\(w_{f} > w_{g}\)ならば
\[\begin{eqnarray} \forall i = w_{g}, w_{g} + 1, \ldots, w_{f}, \quad a_{i} & = & 0 \nonumber \end{eqnarray}\]としておく。 更に以下のように商を定義することもできる。 Ring of Formal Laurent Serriesに以下の商を与えたものは、Ring of Formal Laurent Seriesの分数体になる。
\[\begin{eqnarray} \frac{f(x)}{g(x)} & := & h(x) \nonumber \end{eqnarray}\]ここで、$h \in R((x))$は以下を満たす。
\[\begin{eqnarray} h(x) & = & \sum_{i=w_{h}}^{\infty} c_{i}x^{i} \nonumber \\ f(x) & = & g(x)h(x) \nonumber \\ \sum_{i=w_{f}}^{\infty} a_{i}x^{i} & = & \sum_{i=w_{g} + w_{h}}^{\infty} \sum_{j = w_{g} + w_{h}}^{i} (b_{i - w_{g}}c_{i - j + w_{g}})x^{i} \nonumber \end{eqnarray}\]上の式から\(w_{h} = w_{f} - w_{g}\)である。 最初の数項を書き下すと、
\[\begin{eqnarray} a_{w_{f}} & = & b_{w_{g}}c_{w_{h}} \nonumber \\ a_{w_{f} + 1} & = & b_{w_{g}}c_{w_{h} + 1} + b_{w_{g} + 1}c_{w_{h}} \nonumber \\ a_{w_{f} + 2} & = & b_{w_{g}}c_{w_{h} + 2} + b_{w_{g} + 1}c_{w_{h} + 1} + b_{w_{g} + 2}c_{w_{h}} \nonumber \\ & \vdots & \nonumber \end{eqnarray}\]上から順番にとくと
\[\begin{eqnarray} c_{w_{h}} & = & \frac{a_{w_{f}}}{b_{w_{f}}} \nonumber \\ c_{w_{h} + 1} & = & \frac{1}{b_{w_{g}}} \left( a_{w_{f} + 1} - b_{w_{g} + 1}c_{w_{h}} \right) \nonumber \\ c_{w_{h} + 2} & = & \frac{1}{b_{w_{g}}} \left( a_{w_{f} + 2} - b_{w_{g} + 1}c_{w_{h} + 1} - b_{w_{g} + 2}c_{w_{h}} \right) \nonumber \\ & = & \frac{1}{b_{w_{g}}} \left( a_{w_{f} + 2} - \sum_{j=1}^{2} b_{w_{g} + j}c_{w_{h} + 2 - i} \right) \nonumber \\ & \vdots & \nonumber \\ c_{n} & = & \frac{1}{b_{w_{g}}} \left( a_{n} - \sum_{j=1}^{n} b_{w_{g} + j}c_{w_{h} + n - i} \right) \nonumber \end{eqnarray}\]Operations over polynomials
環としての構造を持たない多項式の間にも、和、積、除の演算を考えることができる。 応用上有用である場合もあるので、幾つか記しておく。
Operation 1
係数が体だとする。
\[\begin{eqnarray} f(x) & := & \sum_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} \nonumber \\ g(x) & := & \sum_{i=0}^{m} b_{i}x^{i} \nonumber \end{eqnarray}\]ここで、$n < m$としておく。 除算を以下で定義する。
\[\begin{eqnarray} \frac{ f(x) }{ g(x) } & := & h(x) \nonumber \\ \end{eqnarray}\]ここで、$h(x)$は以下を満たす。
\[\begin{eqnarray} h(x) & = & \sum_{i=0}^{\infty} c_{-i}x^{-i} \nonumber \\ f(x) & = & g(x)h(x) \nonumber \end{eqnarray}\]両辺の係数を具体的に書き下す。
\[\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} & = & \sum_{i=0}^{m} b_{i}x^{i} \sum_{i=0}^{\infty} c_{-i}x^{-i} \nonumber \\ & = & b_{m} c_{0} x^{m} + (b_{m} c_{-1} + b_{m-1} c_{0}) x^{m-1} + (b_{m} c_{-2} + b_{m-1} c_{-1} + b_{m}c_{0}) x^{m-2} \nonumber \\ & & + \cdots + \sum_{j=0}^{k} b_{m-j} c_{k-j} x^{m-k} + \cdots + \sum_{j=0}^{m} b_{m-j} c_{k-j} x^{m-m} \nonumber \\ & & + ( b_{m} c_{-m-1} + b_{m-1} c_{-m} + b_{m-2}c_{-m+1} + \cdots + b_{0}c_{-1} ) x^{-1} + ( b_{m} c_{-m-2} + b_{m-1} c_{-m-1} + b_{m-2}c_{-m} + \cdots + b_{0}c_{-2} ) x^{-2} \nonumber \\ & & + \cdots + ( \sum_{j=0}^{m} b_{m-j}c_{-(m-j)+k} ) x^{-k} + \cdots \nonumber \\ & = & \sum_{i=-m}^{0} \sum_{j=0}^{m + i} b_{m - j} x^{m - j} c_{-i - (m - j)} x^{-i - (m - j)} + \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=0}^{m} b_{j} x^{j} c_{-(i + j)} x^{-(i + j)} \nonumber \\ & = & \sum_{i=-m}^{0} \sum_{j=0}^{m + i} b_{m - j} c_{-i - (m - j)} x^{-i} + \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=0}^{m} b_{j} c_{-(i + j)} x^{-i} \nonumber \end{eqnarray}\]両辺の係数を比較すると$n < m$より
\[\begin{eqnarray} (\forall i = -m, \ldots, -(n+1)) \quad 0 & = & \sum_{j=0}^{m+i} b_{m-j}c_{-i-(m-j)} \label{operation01_solution_first_part} \\ (\forall i = -n, \ldots, 0) \quad a_{-i} & = & \sum_{j=0}^{m+i} b_{m-j}c_{-i-(m-j)} \label{operation01_solution_second_part} \\ (\forall i = 1, 2, \ldots) \quad 0 & = & \sum_{j=0}^{m} b_{j}c_{-(i+j)} \label{operation01_solution_last_part} \end{eqnarray}\]となる。 順番にとくと$x^{n+1}$から$x^{m}$までの係数は全て0である。 よって
\[\begin{eqnarray} 0 & = & b_{m}c_{0} \nonumber \\ 0 & = & b_{m}c_{-1} + b_{m-1}c_{0} \nonumber \\ 0 & = & b_{m}c_{-2} + b_{m-1}c_{-1} + b_{m-2}c_{0} \nonumber \\ & \vdots & \nonumber \\ 0 & = & b_{m}c_{-m + n + 1} + b_{m-1}c_{-m + n} + \cdots + b_{n+1}c_{0} \nonumber \end{eqnarray}\]より
\[\begin{eqnarray} c_{0} & = & 0 \nonumber \\ c_{-1} & = & 0 \nonumber \\ c_{-2} & = & 0 \nonumber \\ & \vdots & \nonumber \\ c_{-m + n + 1} & = & 0 \nonumber \end{eqnarray}\]となる。 同様に
\[\begin{eqnarray} a_{n} & = & b_{m}c_{-m + n} + b_{m-1}c_{-m + n + 1} + \cdots + b_{n}c_{0} \nonumber \\ a_{n-1} & = & b_{m}c_{-m + n - 1} + b_{m-1}c_{-m + n} + \cdots + b_{n-1}c_{0} \nonumber \\ a_{n-2} & = & b_{m}c_{-m + n - 2} + b_{m-1}c_{-m + n - 1} + b_{m-2}c_{-m + n} + \cdots + b_{n-2}c_{0} \nonumber \\ & \vdots & \nonumber \\ a_{k} & = & b_{m}c_{-m + k} + b_{m-1}c_{-m + k + 1} + b_{m-2}c_{-m + n + 2} \cdots + b_{k}c_{0} \nonumber \\ & \vdots & \nonumber \\ a_{0} & = & b_{m}c_{-m} + b_{m-1}c_{-m + 1} + \cdots + b_{0}c_{0} \nonumber \end{eqnarray}\]より、
\[\begin{eqnarray} c_{-m + n} & = & \frac{ a_{n} }{ b_{m} } \nonumber \\ c_{-m + n - 1} & = & \frac{1}{b_{m}} \left( a_{n-1} - b_{m-1}c_{-m + n} \right) \nonumber \\ c_{-m + n - 2} & = & \frac{1}{b_{m}} \left( a_{n-2} - b_{m-1}c_{-m + n - 1} - b_{m-2}c_{-m + n} \right) \nonumber \\ & \vdots & \nonumber \\ c_{-m + k} & = & \frac{1}{b_{m}} \left( a_{k} - b_{m-1}c_{-m + k + 1} - b_{m-2}c_{-m + k + 2} \cdots - b_{k}c_{0} \right) \nonumber \\ & = & \frac{1}{b_{m}} \left( a_{k} - \sum_{j=1}^{n - k} b_{m-j} c_{-m + k + j} \right) \nonumber \\ & \vdots & \nonumber \\ c_{-m} & = & \frac{1}{b_{m}} \left( a_{0} - \sum_{j=1}^{n} b_{m-j} c_{-m + j} \right) \nonumber \end{eqnarray}\]となる。 同様に
\[\begin{eqnarray} & & 0 = \sum_{j=0}^{m} b_{j}c_{-(i+j)} \nonumber \\ & \Leftrightarrow & 0 = b_{m}c_{-(i+m)} + \sum_{j=0}^{m-1} b_{j}c_{-(i+j)} \nonumber \\ & \Leftrightarrow & c_{-(i+m)} = \frac{-1}{b_{m}} \left( \sum_{j=0}^{m-1} b_{j}c_{-(i+j)} \right) \end{eqnarray}\]となる。 これは$i=1$から順にとける。 まとめると
\[\begin{eqnarray} h(x) = \sum_{i=m-n}^{\infty} c_{-i}x^{-i} \nonumber \end{eqnarray}\]である。
Example 1
具体的な計算例として以下の計算をする。
- $R := \mathbb{F}_{2}$
- $f(x) := 1$
- \(a_{0} = 1\),
- $n = 0$
- $g(x) := x + 1$
- \(b_{1} = b_{0} = 1\),
- $m = 1$
を計算する。 順番に解くと、\(\eqref{operation01_solution_first_part}\)から$ i = -1$のとき、
\[\begin{eqnarray} & & \sum_{j=0}^{m+i} b_{m-j}c_{-i-(m-j)} = 0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & \sum_{j=0}^{1-1} b_{1-j}c_{1-(1-j)} = 0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & \sum_{j=0}^{0} b_{1-j}c_{j} = 0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & b_{1}c_{0} = 0 \end{eqnarray}\]となって、$c_{0} = 0$である。 \(\eqref{operation01_solution_second_part}\)から$i=0$のとき、
\[\begin{eqnarray} & & \sum_{j=0}^{m+i} b_{m-j}c_{-i-(m-j)} = a_{-i} \nonumber \\ & \Leftrightarrow & \sum_{j=0}^{1+0} b_{1-j}c_{-0-(1-j)} = a_{0} \nonumber \\ & \Leftrightarrow & \sum_{j=0}^{1} b_{1-j}c_{-1+j} = a_{0} \nonumber \\ & \Leftrightarrow & b_{1}c_{-1} + b_{0}c_{0} = a_{0} \nonumber \\ & \Leftrightarrow & c_{-1} + c_{0} = 1 \end{eqnarray}\]より、$c_{-1} = 1$となる。 \(\eqref{operation01_solution_last_part}\)から$i=1$のとき、
\[\begin{eqnarray} & & \sum_{j=0}^{m} b_{j}c_{-(i+j)} = 0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & \sum_{j=0}^{1} b_{j}c_{-(i+j)} = 0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & b_{0}c_{-i} + b_{1}c_{-i-1} = 0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & c_{-i} + c_{-i-1} = 0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & c_{-1} + c_{-2} = 0 \nonumber \end{eqnarray}\]となって、$c_{-2} = 1$である。 $i > 1$については、上の式より、
\[c_{-i} + c_{-i-1} = 0\]であることが分かるので、$i=1$から順番に説いていけば、$c_{-i} = 1$であることがわかる。 以上を合わせると
\[h(x) = \sum_{i=1}^{\infty} x^{-i}\]である。
■
Example 2
また、別の例として、
- $R := \mathbb{F}_{2}$
- $f(x) := x$
- \(a_{0} = 0, a_{1} = 1\),
- $n = 1$
- $g(x) := x^{2} + x + 1$
- \(b_{2} = b_{1} = b_{0} = 1\),
- $m = 2$
の$h$を計算する。 順番に解くと、\(\eqref{operation01_solution_first_part}\)から$ i = -2$のとき、
\[\begin{eqnarray} & & \sum_{j=0}^{m+i} b_{m-j}c_{-i-(m-j)} = 0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & \sum_{j=0}^{2-2} b_{2-j}c_{2-(2-j)} = 0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & \sum_{j=0}^{0} b_{2-j}c_{j} = 0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & b_{2}c_{0} = 0 \nonumber \end{eqnarray}\]より、$c_{0} = 0$となる。 \(\eqref{operation01_solution_second_part}\)から
\[\begin{eqnarray} & & \sum_{j=0}^{m+i} b_{m-j}c_{-i-(m-j)} = a_{-i} \nonumber \\ & \Leftrightarrow & \sum_{j=0}^{2+i} b_{2-j}c_{-i-(2-j)} = a_{-i} \nonumber \\ & \Leftrightarrow & \sum_{j=0}^{2+i} b_{2-j}c_{-i-2+j} = a_{-i} \nonumber \end{eqnarray}\]$i=-1$とすれば、
\[\begin{eqnarray} & & \sum_{j=0}^{2-1} b_{2-j}c_{1-2+j} = a_{1} \nonumber \\ & \Leftrightarrow & \sum_{j=0}^{1} b_{2-j}c_{-1+j} = a_{1} \nonumber \\ & \Leftrightarrow & b_{2}c_{-1} + b_{1}c_{0} = a_{1} \nonumber \\ & \Leftrightarrow & c_{-1} = a_{1} \nonumber \end{eqnarray}\]となって、$c_{-1} = 1$である。 $i = 0$のとき、
\[\begin{eqnarray} & & \sum_{j=0}^{2-0} b_{2-j}c_{0-2+j} = a_{0} \nonumber \\ & \Leftrightarrow & \sum_{j=0}^{2} b_{2-j}c_{-2+j} = a_{0} \nonumber \\ & \Leftrightarrow & b_{2}c_{-2} + b_{1}c_{-1} + b_{0}c_{0} = a_{0} \nonumber \\ & \Leftrightarrow & c_{-2} + 1 + 0 = 0 \nonumber \end{eqnarray}\]より、$c_{-2} = 1$である。 \(\eqref{operation01_solution_last_part}\)から
\[\begin{eqnarray} & & \sum_{j=0}^{m} b_{j}c_{-(i+j)} = 0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & \sum_{j=0}^{2} b_{j}c_{-(i+j)} = 0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & b_{0}c_{-i-0} + b_{1}c_{-i-1} + b_{2}c_{-i-2} = 0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & c_{-i} + c_{-i-1} + c_{-i-2} = 0 \nonumber \end{eqnarray}\]で、$i=1$のとき、
\[\begin{eqnarray} & & c_{-1} + c_{-2} + c_{-3} = 0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & 1 + 1 + c_{-3} = 0 \end{eqnarray}\]となって、$c_{-3} = 0$となる。 $i=2$のときは、
\[\begin{eqnarray} & & c_{-2} + c_{-3} + c_{-4} = 0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & 1 + 0 + c_{-4} = 0 \end{eqnarray}\]で、$c_{-4} = 1$となる。 $i=3$のときは、
\[\begin{eqnarray} & & c_{-3} + c_{-4} + c_{-5} = 0 \nonumber \\ & \Leftrightarrow & 0 + 1 + c_{-5} = 0 \end{eqnarray}\]で、$c_{-5} = 1$となる。 以上より、\(c_{-3k} = 0, c_{-3k -1} = 1, c_{-3k-2} = 1\)となることがわかる。
\[h(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \left( x^{-3k-1} + x^{-3k-2} \right)\]直接解く場合は、
\[\begin{eqnarray} c_{0} & = & 0 \nonumber \\ c_{-1} & = & \frac{a_{1}}{b_{2}} = \frac{1}{1} \nonumber \\ c_{-2} & = & \frac{1}{b_{2}} \left( a_{0} - b_{1}c_{-1} \right) = \frac{1}{1} (0 - 1) = 1 \nonumber \\ c_{-3} & = & \frac{-1}{b_{2}} \left( \sum_{j=0}^{2-1} b_{j}c_{-(i+j)} \right) \nonumber \\ & = & \frac{-1}{1} \left( \sum_{j=0}^{1} b_{j}c_{-(i+j)} \right) \nonumber \\ & = & -1 \left( b_{0}c_{-i} + b_{1}c_{-i-1} \right) \nonumber \\ & = & -1 \left( c_{-i} + c_{-i-1} \right) \nonumber \\ & = & -1 \left( c_{-1} + c_{-2} \right) \nonumber \\ & = & -1 \left( 1 + 1 \right) \nonumber \\ & = & 0 \nonumber \\ c_{-4} & = & -1 \left( c_{-2} + c_{-3} \right) \nonumber \\ & = & -1 \left( 1 + 0 \right) \nonumber \\ & = & 1 \nonumber \\ \vdots \nonumber \end{eqnarray}\]として解ける。
■
Example 3
また、別の例として、
- $R := \mathbb{F}_{2}$
- $f(x) := x$
- \(a_{0} = 0, a_{1} = 1\),
- $n = 1$
- $g(x) := x^{3} + x + 1$
- \(b_{3} = 1, b_{2} = 0, b_{1} = b_{0} = 1\),
- $m = 3$
の$h$を計算する。 直接解く。 まず、$i=0$から$i = -m + n + 1 = -3 + 1 + 1 = -1$までは
\[\begin{eqnarray} c_{0} & = & 0 \nonumber \\ c_{-1} & = & 0 \end{eqnarray}\]である。 \(c_{i}\)について、$i = -m + n = -3 + 1 = -2$から$i=-m$までは、
\[\begin{eqnarray} c_{-m+k} & = & \frac{1}{b_{m}} \left( a_{k} - \sum_{j=1}^{n-k} b_{m-j}c_{-m+k+j} \right) \end{eqnarray}\]を解けば良いから、
\[\begin{eqnarray} c_{-2} & = & \frac{1}{b_{3}} \left( a_{1} \right) \nonumber \\ & = & 1 \nonumber \\ c_{-3} & = & \frac{1}{b_{3}} \left( a_{0} - b_{3-1}c_{-3+0+1} \right) \nonumber \\ & = & \frac{1}{b_{3}} \left( a_{0} - b_{2}c_{-2} \right) \nonumber \\ & = & \left( 0 - 0 \right) \nonumber \\ & = & 0 \end{eqnarray}\]となる。 \(c_{i}\)の$i > -m$について、
\[\begin{eqnarray} c_{-(k+m)} & = & \frac{-1}{b_{m}} \left( \sum_{j=0}^{m-1} b_{j}c_{-(k+j)} \right) \nonumber \\ & = & \frac{-1}{b_{3}} \left( \sum_{j=0}^{2} b_{j}c_{-(k+j)} \right) \nonumber \\ & = & \frac{-1}{1} \left( b_{0}c_{-k} + b_{1}c_{-k-1} + b_{2}c_{-k-2} \right) \nonumber \\ & = & -1 \left( c_{-k} + c_{-k-1} \right) \end{eqnarray}\]を解けば良いから
\[\begin{eqnarray} c_{-4} & = & -1 \left( c_{-1} + c_{-2} \right) \nonumber \\ & = & -1 \left( 0 + 1 \right) \nonumber \\ & = & 1 \nonumber \\ c_{-5} & = & -1 \left( c_{-2} + c_{-3} \right) \nonumber \\ & = & -1 \left( 1 + 0 \right) \nonumber \\ & = & 1 \nonumber \\ c_{-6} & = & -1 \left( c_{-3} + c_{-4} \right) \nonumber \\ & = & -1 \left( 0 + 1 \right) \nonumber \\ & = & 1 \nonumber \\ c_{-7} & = & -1 \left( c_{-4} + c_{-5} \right) \nonumber \\ & = & 0 \nonumber \\ c_{-8} & = & -1 \left( c_{-5} + c_{-6} \right) \nonumber \\ & = & 0 \nonumber \end{eqnarray}\]■
Operations 2
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