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Toropical Geometry

Toropical Geometry = Tropical semi ring 上の代数幾何

代数幾何
Toropical Semi ring
ameba, tropical 曲線

代数幾何 = 代数多様体の研究

代数多様体は、集合でなくfunctor. もしくは、(少なくとも局所的には)方程式系の共通零点. 大域的にはこれらの貼り合わせとして得られる。

\[f(x) := x(x-1)(x - 2) + 100 = 0\]

が定義するalgebraic manifold. 環$R$を選ぶごとに、$R$における方程式の解の集合

\[V(R) = \left{ x \in R \mid f(x) = 0 \right}\]

が定まる。

$V(\mathbb{C})$,
- 3点
$V(\mathbb{})$,
- 1点
$V(\mathbb{F}_{p})$,
$V(\mathbb{Z}_{p})$,
$V(\mathbb{Z})$,

$V$は(Ring)から(Set)への共変functor.

\[\phi: R \rightarrow S\]

Step2

$f_{i}$たちの生成する多項式環$\mathbb{k}[x_{1}, \ldots, x_{2}]$上のidealを考える。

$\mathbb{k}$は、$V$の定義体 Vは($\mathbb{k}$-alg)から(Set)へのfunctor

Step3

商環$\mathbb{k}[x_{1}, \ldots, x_{n} / I$を考える。 $\mathbb{k}[x_{1}, \ldots, x_{n}]/I$と$k[y_{1}, \ldots, y_{n}]/J$が環として同型なら対応する代数多様体も同型。

proof.

$R$
- $\mathbf{k}$-alg
$V$
- $I$で定義されるalg. var.
- algebraic vanety
$I := (f_{1}(x_{1},\ldots, x_{n}), \ldots, f_{r}(x_{1}, \ldots, x_{n}))$,

\[V(R) = \left\{ (x_{1}, \ldots, x_{n}) \in R^{n} \mid f_{1}(x_{1}, \ldots, x_{n}) = \cdots = f_{r}(x_{1}, \ldots, x_{n}) = 0 \right\} \apprx \mathrm{Hom}_{\mathbb{k}\mathrm{-alg}}(S_{1}, R)\] \[\phi \in \mathrm{Hom}_{\mathbb{k}\mathrm{-alg}}(S_{1}, R)\] \[(\phi([x_{1}]), \ldots, \phi([x_{n}])) \in S_{1} := \mathbb{k}[x_{1}, \ldots, x_{n}]/I\]

多項式環は自由な可換環である。つまり、不定元の行き先を自由に選ぶことと、多項式環から環への準同型を与えることは同値。商環$\mathbb{k}[x_{1}, \ldots, x_{n}]/I$から$R$への準同型を与えることと、$R$の$n$個の元で、$I$に含まれる全ての方程式の解になっているものを選ぶことは同値。

■

Remark

任意の有限生成$\mathbb{k}\mathrm{-alg}$は、ある$n$と$r$によって、$\mathbb{k}[x_{1}, \ldots, x_{n}] / (f_{1}(x_{1}, \ldots, x_{n}), \ldots, f_{r}(x_{1}, \ldots, x_{n})$の形にかける。 Hilbertの定理。

■

$S$が有限生成とは、$\exists \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in S$Nituite,$\alpha_{1}, \lodts, \alpha_{n}$をを含む$S$の$\mathbb{k}$-subalgの中で、最小のものが$S$と一致する。

多項式環のUniversality $\forall S$: $\mathbb{k}\mathrm{-alg}$, $\forall \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in S$について、$\exists ! \phi: \mathbb{k}[x_{1}, \ldots, x_{n}] \rightarrow S$が$\mathbb{k}$-alg hom.で、$\phi(x_{i}) = \alpha_{i}\ (i= 1, \ldots, n)$,

\[\mathrm{fgt}: (\mathbb{k}-\mathrm{-alg}) \rightarrow (\mathbb{k}\mathrm{-vec.sp.}), \mathrm{free}: (\mathbb{k}-\mathrm{-vec.sp.}) \rightarrow (\mathbb{k}\mathrm{-alg.}), \mathrm{Hom}_{\mathbb{k}\mathrm{-vect}}(V, \mathrm{fgt}(R)), = \mathrm{Hom}_{\mathbb{k}\mathrm{-alg.}}(\mathrm{free}(V), R), V = \mathrm{span}_{\mathbb{k}}\{x_{1}, \ldots, x_{n}\}\]

有限生成であることと、多項式環から全射があることは同値。 Hilbertの定理によれば、$S := \mathbb{k}[x_{1}, \ldots, x_{n}] / (f_{1}, \ldots, f_{r})$

$\mathbb{k}$-alg上の(affine)代数多様体と有限生成$\mathbb{k}$-algは一対一の対応がある。 ((Aff Scheme /$\mathbb{k}$) \approx $(\mathbb{k}\mathrm{-alg})^{op}$)

$\mathbb{Z}$上のalg. var.の $\mathbb{Z}$-valued point、$\mathbb{R}$-valued pointにしか興味がなくても、$\mathbb{C}$-valued pointや$\mathbb{F}_{p}$-valued point、$\mathbb{Z}_{p}$-valued piontを調べることはしばしば約に立つ。例えば、Weil予想、Mordell予想など。

Tropical manifoldとは、代数多様体のtropical semi ring -valued point.

Franceから見た、Brazilのイメージでついた。 Brazil人のしごとが元になっている。

$(\mathbb{R}^{+} := \mathbb{R} \cup \{\infty \}, \odot, \plus)$,
- the tropical jsemiring

The tropical addition

\[\oplus; \mathbb{R}^{+} \times \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}\] \[x \oplus y := \min\{x, y\}\]

The tropical multiplication

$\odot: \mathbb{R}^{+} \times \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$,

\[x \odot y := x + y\]

$\oplus$と$\odot$は通常音+と$\times$の持つ性質の多くをもつ。

$\oplus$のか可換性、結合性
$\odot$のか可換性、結合性
分配則
- \[(a \oplus b) \odot c = a \odot c \oplus b \odot c\]
0が$\odot$の単位元、
$\infty$が$\oplus$の単位元、

但し、減算はない。減算なしの4則演算. 引き算しない多項式は、trop. semiring上で考えることができる。例えば、

\[f(x) = 2x^{2} + 3x + 1\]

trop.化は

\[f^{\mathrm{trop.}}(x) = 2 \odot x^{\odot 2} \oplus 3 \odot x \oplus 1 = \min\{2 + x + x, 3 + x, 1\}\]

これは$\mathbb{R}^{+}$から$\mathbb{R}^{+}$への写像になっている。 3つのgraphのmin.

Remark

$\oplus$はminのかわりにmaxにすることもできる。その場合は、単位元は$-\infty$になる。この場合は、semiringとして同型にできる。

■

引き算しない有理式は、tropical化されて、区分線形(affine)関数を定める。組み合わせ論的になる。

$f$から$f^{\mathrm{trop.}}$への対応はtropicalization
$f^{\mathrm{trop.}}$から$f$への対応はgeometric lifting

1対1ではない。情報が失われる。簡単になる。

tropical化で残る情報は、基本的/本質的である。 tropical多項式の零点は、写像が微分不可能な点。区分線形の変化点が零点。

\[f = 1 + x + y\] \[f^{\mathrm{trop}} = \max \{ 1, x, y \}\] \[f = x + y + \frac{1}{xy} + 1\] \[f^{\mathrm{trop}} = \max \{ 1, x, y, -x-y \}\]

2変数Laurent多項式

\[f(x, y) = \sum_{n,m=-\infty}^{\infty} a_{n,m}x^{n}y^{m} \quad (a_{n,m} \in \mathbb{R})\]

$\|\{(n, m) \in \mathbb{Z}^{2} \mid a_{n,m} \neq 0\} \| < \infty$ に対して、 $f$の定義する$(\mathbb{R}^{\times})^{2}$の部分集合

\[V_{\mathbb{R}} := \{ (x, y) \in (\mathbb{R}^{\times})^{2} \mid f(x, y) = 0 \}\]

$(\mathbb{C}^{\times})^{2}$の部分集合

\[V_{\mathbb{C}} := \{ (x, y) \in (\mathbb{C}^{\times})^{2} \mid f(x, y) = 0 \}\]

及びtropical曲線

\[V^{\mathrm{trop.}} := \{ (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid f^{\mathrm{trop.}} \text{ is not differentiable at } (x, y). \}\]

を考えることができる。 $f$がlaurent多項式なので、$0$では定義されない。

Amoeba (Gelfand-Kapranov-Zelevinsky)

Log: $(\mathbb{C}^{\times})^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$,

\[\mathrm{Log}(z, w) := (\log |z|, \log |w|)\]

$(\mathbb{C}^{\times})^{2}$内のalg. var $V_{\mathbb{C}}$のLogによる像を$V_{\mathbb{C}}$のamoebaと呼ぶ。

e.g.

\[V_{\mathbf{C}} = \{ (x, y) \in (\mathbb{C}^{\times})^{2} \mid x + y + 1 = 0 \}\]

Logのかわりに

\[\mathrm{Log}_{t} = \frac{1}{\log t} \mathrm{Log}\]

を考える。 $f$のかわりに$f_{t} = x + y + t$を考えて、$\mathrm{Log}_{t}(\{f_{t}=0\})$の(Hausdorff距離に関する)$t \rightarrow \infty$の極限を取ると、$f^{\mathrm{trop.}}$の定めるtropical曲線に一致する。

固定された距離空間の部分集合の集合入る距離。

\[(X, d)\]
- a metric space
$A, B \subset X$

\[d_{H}(A, B) := \max \{ \max_{a \in A} d(a, B), \max_{b \in B} d(A, b), \}\] \[(a, B) := \min_{b \in B} d(a, b)\]

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