Generalized Inverse

definition

symbols

• $M(m, n)$
  • $m$行$n$列の行列の集合
• $A^{*}$
  • $A$のエルミート行列とする。

generalized inverse

$A \in M(m, n)$とする。 以下を満たす$A^{\dagger}$をMoore-Penrose擬似逆行列と呼ぶ。

1. $AA^{\dagger}A = A$
2. $A^{\dagger}AA^{\dagger} = A^{\dagger}$
3. $(AA^{\dagger})^{*} = AA^{\dagger}$
4. $(A^{\dagger}A)^{*} = A^{\dagger}A$

因みに、 $(AA^{\dagger})^{} = (A^{\dagger})^{}A^{*}$

remark1

一般化逆行列は存在すれば一意。 実際$A$の一般化逆行列が$B, C$と存在するとすると、

remark2

$(A^{\dagger})^{\dagger} = A$である。 実際、

1. $A^{\dagger}AA^{\dagger} = A^{\dagger}$
2. $AA^{\dagger}A = A$
3. $(A^{\dagger}A)^{*} = A^{\dagger}A$
4. $(AA^{\dagger})^{*} = AA^{\dagger}$

となって、$A$が$A^{\dagger}$に対して1, 2, 3, 4を満たす。

remark3

reference

• pdf
  • かなり良くまとまっている。