Irreducible Polynominal
既約多項式について。
Definition
- $K$
- field
Definition.
$f(x), g(x) \in K[x]$とする。 $f(x)$が$g(x)$の倍数であるとは、ある$q(x) \in K[x]$が存在して
\[f(x) = q(x)g(x)\]となることを言う。
Definition
$f(x), g(x) \in K[x]$とする。 $g(x)$が$f(x)$の約数であるとは、ある$q(x) \in K[x]$が存在して
\[f(x) = q(x)g(x)\]となることを言う。
Definition. (Irreducible Polynomial)
$f(x) \in K[x]$が既約多項式とは、以下を満たす$g, h \in K[x]$が存在しないことを言う。
\[\deg(g) \ge 1, \ \deg(h) \ge 1, \ f = gh\]Operations
多項式環の演算を考える。
- $K$
- 体
- $K[x]$
- 1変数の$K$上の多項式環
- $x^{0} = 0 \in K$と定める
- \(f(x) = \sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i} \in K[x]\),
- \(g(x) = \sum_{i=0}^{m} b_{i} x^{i} \in K[x]\),
Addition
\(n \ge m\)とする。
\[f(x) + g(x) := \sum_{i=m+1}^{n} (a_{i} + b_{i}) x^{i} + \sum_{i=0}^{m} (a_{i} + b_{i}) x^{i}\]multiplication
\(n \ge m\)とする。
\[\begin{eqnarray} f(x)g(x) & := & \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} a_{i}b_{j} x^{i+j} \nonumber \\ & = & \sum_{i = 0}^{n + m} \left( \sum_{j + l = i} a_{j}b_{l} \right) x^{i} \nonumber \\ & = & \sum_{i = 0}^{n + m} \left( \sum_{j = 0}^{i} a_{j}b_{i - j} \right) x^{i} \end{eqnarray}\]Theory
Theorem
- \(f(x) = \sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i} \in K[x]\),
- \(g(x) = \sum_{i=0}^{m} b_{i} x^{i} \in K[x]\),
- $m \ge 1$
このとき、
\[f(x) = g(x)q(x) + r(x), \ \mathrm{deg}r(x) < \mathrm{deg}g(x)\]なる$r(x), q(x) \in K[x]$がただ一組存在する。
proof.
まず、$\mathrm{deg}f(x) < \mathrm{deg}g(x)$ならば、$q(x) := 0$, $r(x) := f(x)$で良い。
$\mathrm{deg}f(x) \ge \mathrm{deg}g(x)$とする。 $a^{0} := a_{n}$とする。
\[f^{1}(x) := f(x) - \frac{ a^{0} }{ b_{m} } x^{n - m} g(x)\]とすると、$\mathrm{deg}f^{1}(x) < \mathrm{deg}f(x)$である。 $k=1$として、$a^{k}$を$f^{k}(x)$の最高次数の係数とする。 $n^{k} := \mathrm{deg}f^{k}(x)$とする。
\[f^{k+1}(x) := f^{k}(x) - \frac{ a^{k} }{ b_{m} } x^{n^{k} - m} g(x)\]とすれば$\mathrm{deg}f^{k+1}(x) < \mathrm{deg}f^{k}(x)$である。 $n$は自然数だからこれは高々$n$回の操作で$\mathrm{deg}f^{l} < \mathrm{deg}g(x)$となる。
$\Box$