Implicit Function Theorem
逆関数の定理、陰関数定理
Symbol
- $f: \mathbb{R}^{N + M} \rightarrow \mathbb{R}^{M}$
- $x = (x^{1}, \ldots, x^{N})^{T} \in \mathbb{R}^{N}$
- $y = (y^{1}, \ldots, y^{M})^{T} \in \mathbb{R}^{M}$
- $g: \mathbb{R}^{N} \rightarrow \mathbb{R}^{M}$
-
$ x := \max_{i=1, \ldots, N} x^{i}$ - max norm over $\mathbb{R}^{N}$
Definition
$f$を$\mathbb{R}^{N} \times \mathbb{R}^{M}$の直積集合からの写像とみなし、$f(x, y) \in \mathbb{R}^{M}$と書く。 $f$の点$(a, b) \in \mathbb{R}^{N} \times \mathbb{R}^{M}$でのJacobi行列を次で定義する。
\[(Df)(a, b) := \left( \begin{array}{cccccc} \frac{\partial f_{1}(a,b)}{\partial x^{1}} & \ldots & \frac{\partial f_{1}(a,b)}{\partial x^{N}} & \frac{\partial f_{1}(a,b)}{\partial y^{1}} & \ldots & \frac{\partial f_{1}(a,b)}{\partial y^{M}} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_{M}(a,b)}{\partial x^{1}} & \ldots & \frac{\partial f_{N}(a,b)}{\partial x^{N}} & \frac{\partial f_{M}(a,b)}{\partial y^{1}} & \ldots & \frac{\partial f_{M}(a,b)}{\partial y^{M}} \\ \end{array} \right)\] \[(df)_{p} := \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial f^{1}(p)}{\partial x^{1}} & \ldots & \frac{\partial f^{1}(p)}{\partial x^{N}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f^{N}(p)}{\partial x^{1}} & \ldots & \frac{\partial f^{N}(p)}{\partial x^{N}} \\ \end{array} \right)\]とくに、$v \in \mathbb{R}^{N}$について
\[(df)_{p}(v) = \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial f^{1}(p)}{\partial x^{1}} & \ldots & \frac{\partial f^{1}(p)}{\partial x^{N}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f^{N}(p)}{\partial x^{1}} & \ldots & \frac{\partial f^{N}(p)}{\partial x^{N}} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} v^{1} \\ \vdots \\ v^{N} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \sum_{j=1}^{N} \frac{\partial f^{1}(p)}{\partial x^{j}}v^{j} \\ \vdots \\ \sum_{j=1}^{N} \frac{\partial f^{N}(p)}{\partial x^{j}}v^{j} \end{array} \right)\]Lemma1
$U \subset \mathbb{R}^{N}$ 開集合とする。 $\phi: U \rightarrow \mathbb{R}^{N}$は$C^{1}$級写像, $K$を$U$のコンパクト部分集合とする。 このとき、$\forall \epsilon > 0$にたいして、$\exists \delta > 0$が存在して、$\forall p, q \in K, |p - q| < \delta$ならば、
\[|(d\phi)_{p}(v) - (d\phi)_{q}(v)| < \epsilon |v| \ \forall \in \mathbb{R}^{N}.\]proof
$(d\phi){p}(v)$の第$i$成分を$(d\phi^{i}){p}(v)$とかく。
\[\begin{eqnarray} |(d\phi^{i})_{p}(v) - (d\phi^{i})_{q}(v)| & = & \left| \sum_{j = 1}^{N} \left( \frac{\partial \phi^{i}(p)}{\partial x^{j}} - \frac{\partial \phi^{i}(q)}{\partial x^{j}} \right)v^{j} \right| \\ & \le & \left| \frac{\partial \phi^{i}(p)}{\partial x} - \frac{\partial \phi^{i}(q)}{\partial x} \right| \left| v \right| \\ & \le & \sum_{j=1}^{N} \left| \frac{\partial \phi^{i}(p)}{\partial x^{j}} - \frac{\partial \phi^{i}(q)}{\partial x^{j}} \right| \left| v \right| \label{eq:lemma1_eq1} \end{eqnarray}\]ここで、
\[\frac{\partial \phi^{i}(p)}{\partial x} = \left( \frac{\partial \phi^{i}}{\partial x^{1}}(p), \ldots, \frac{\partial \phi^{i}}{\partial x^{N}}(p) \right)^{T}\]である。 二つ目の不等式は内積の三角不等式による。 $\phi$が$C^{1}$級なので、その微分は連続である。 $K$がコンパクトであることより、$ \frac{\partial \phi^{i}(p)}{\partial x^{j}}$は一様連続である。 よって、$\forall \epsilon > 0$, $\exists \delta_{i,j} > 0$が存在して、$p, q \in K$, $|p - q| < \delta_{i,j}$について
\[\left| \frac{\partial \phi^{i}(p)}{\partial x^{j}} - \frac{\partial \phi^{i}(q)}{\partial x^{j}} \right| \le \frac{\epsilon}{N}\]である。 よって、$\eqref{eq:lemma1eq1}$は$\delta{i} := \max_{j}\delta_{i,j}$とすれば、
\[|(d\phi^{i})_{p}(v) - (d\phi^{i})_{q}(v)| \le \epsilon \left| v \right|\]となる。 以上より、$\delta := \max_{i}\delta_{i}$とすれば、
\[\begin{eqnarray*} \left| (d\phi)_{p}(v) - (d\phi)_{q}(v) \right| & = & \max_{i=1, \ldots N} \left| (d\phi^{i})_{p}(v) - (d\phi^{i})_{q}(v) \right| \\ & \le & \epsilon \left| v \right| \end{eqnarray*}\]Lemma2
$f$をLemma1の通りとする。 $K$を$U$のコンパクト部分集合で、$K$は凸集合とする。
\[M_{i,j} := \max_{p \in K} \left| \frac{\partial f^{i}}{\partial x^{j}}(p) \right|, M := \max_{i,j}M_{i,j}\]とおくと、$p, q \in K$のとき、
\[| f(p) - f(q) | \le nM|p - q|\]proof
Theorem1(Inverse Function Theorem)
$U \subset \mathbb{R}^{N}$を開集合とする。 $f: U \rightarrow \mathbb{R}^{N}$とし、$C^{r} (1 \le r \le \infty)$級とする。 $U \ni p_{0}$において、$f$のヤコビアンが0でないならば、$f$は$p_{0}$の近傍から$f(p_{0}) \in \mathbb{R}^{N}$の近傍への$C^{r}$同型である。 すなわち、$\exists U_{0} \subset U, \exists V_{0} \subset f(U), f(p_{0}) \in V_{0}$が存在して、$\left. f \right|{U{0}}: U_{0} \rightarrow V_{0}$が$C^{r}$級同型となる。