Equicontinuity
関数族に対する連続性。
- $(X, d_{X})$,
- metric sp.
- $(Y, d_{Y})$,
- metric sp.
- $F$,
- familiy of functions from $X$ to $Y$
- $f \in F$ is $f: X \rightarrow Y$
Definition.
$F$ is said to be equicontinuous at $x_{0} \in X$ if
\[\forall \epsilon > 0, \ \exists \delta > 0, \ \forall x \in X, \ d_{X}(x, x_{0}) < \delta, \Rightarrow \forall f \in F, \ d_{Y}(f(x_{0}), f(x)) < \epsilon .\]$x_{0}$のまわりでは、関数族全体で連続である。
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Definition. pointwise equicontinuous
\(F\)が全ての$x \in X$でequicontinuousであるとき、$F$は pointwise equicontinuousという。
\[\forall x_{0} \in X, \ \forall \epsilon > 0, \ \exists \delta > 0, \ \forall x \in X, \ d_{X}(x, x_{0}) < \delta, \Rightarrow \forall f \in F, \ d_{Y}(f(x_{0}), f(x)) < \epsilon\]■
Definition. uniformly equicontinuous
\(F\)がuniformly equicontinuousとは
\[\forall \epsilon > 0, \ \exists \delta > 0, \ \forall x_{1}, x_{2} \in X, \ d_{X}(x_{1}, x_{2}) < \delta, \Rightarrow \forall f \in F, \ d_{Y}(f(x_{1}), f(x_{2})) < \epsilon\]■
Remark
pointwise equicontinuousと$F$の全ての関数が連続の違いは、$F$の全ての関数が連続の場合は、
\[\forall f \in F, \ \forall x_{0} \in X, \ \forall \epsilon_{f} > 0, \ \exists \delta > 0, \ d_{X}(x, x_{0}) < \delta \Rightarrow d_{Y}(f(x), f(x_{0})) < \epsilon_{f, x}\]となって、$\epsilon$は$f$に依存する。