Continuous Distributions
The list of continuous distributions.
- Uniform distribution(一様分布)
- Gamma distribution(Gamma分布)
- Exponential distribution(指数分布)
- Chi-squared distribution(Chi2乗分布)
- Normal distribution(正規分布)
- Log-normal distribution(対数正規分布)
- Beta(Beta分布)
- Cauchy distribution(Cauchy分布)
- Weibull distribution(Weibull分布)
- Logistic distribution(Logistic分布)
- Pareto distribution(Pareto分布)
- t distribution
- F distribution
1. Uniform distribution $U(a, b)$
2. Gamma distribution $G(\alpha, \nu)$
- $\alpha > 0$,
- $\nu > 0$,
$\eqref{gamma_distribution_pdf}$の密度関数を持つ確率変数をガンマ分布に従う確率変数という。
p.d.f. of gamma distribution
\[\begin{equation} f_{G}(x; \alpha, \nu) := \begin{cases} \frac{1}{\Gamma(\nu)} \alpha^{\nu} x^{\nu - 1} e^{-\alpha x} & (x > 0) \\ 0 & (x \ge 0) \end{cases} \label{gamma_distribution_pdf} \end{equation}\]where $\Gamma(\nu)$ is the gamma function.
2-1. Exponential distribution $\mathrm{Exp}(\lambda)$
- $\lambda > 0$
指数分布はガンマ分布の特別な場合である。 $G(\lambda, 1)$をパラメータ$\lambda$の指数分布といい、$\mathrm{Exp}(\lambda)$とかく。
p.d.f of exponential distribution
2-2. noncentral chi-squared distribution
- $k \in \mathbb{N}$,
- $\mu \in \mathbb{R}$,
- $X_{1} \sim N(\mu, 1)$,
- $X_{j} \sim N(0, 1) \ (j = 2, \ldots, k)$,
- $X_{1}, \ldots, X_{k}$,
- independent
The distribution of r.v. $Y := \sum_{j=1}^{k} X_{j}$ is said to be chi-suqre distribution with $k$ degree of freedom and noncentrality parameter $\mu^{2}$. The p.d.f of $Y$ is given by
\[\begin{eqnarray} f_{\chi}(x; k, \mu^{2}) & = & e^{-\frac{\mu^{2}}{2}} \sum_{r=0}^{\infty} \frac{1}{r!} \left( \frac{\mu^{2}}{2} \right)^{r} f_{G}(x; \frac{1}{2}, r + \frac{k}{2}) & & (x > 0) \nonumber \\ & = & e^{-\frac{\mu^{2}}{2}} \sum_{r=0}^{\infty} \frac{1}{r!} \left( \frac{\mu^{2}}{2} \right)^{r} \frac{1}{\Gamma(r + \frac{k}{2})} \frac{1}{2^{r + \frac{k}{2}}} x^{r + \frac{k}{2} - 1} e^{-\frac{1}{2} x} & & (x > 0) \nonumber \\ & = & e^{-\frac{\mu^{2}}{2}} e^{-\frac{1}{2} x} x^{\frac{k}{2} - 1} \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}} \sum_{r=0}^{\infty} \frac{1}{r!} \left( \frac{\mu^{2}}{2} \right)^{r} \frac{1}{\Gamma(r + \frac{k}{2})} \frac{1}{2^{r}} x^{r} & & (x > 0) \end{eqnarray}\]where $g(x; \alpha, \nu)$ is the p.d.f. of gamma distribution with $\alpha, \nu$. We denote $\chi^{2}(k ,\mu^{2})$ by chi-suqre distribution with $k$ degree of freedom and noncentrality parameter $\mu^{2}$. In particular, chi-square distribution with $k$ degree of freedom and denote $\chi^{2}(k) := \chi^{2}(k, \mu^{2})$ when $\mu = 0$. In this case, the p.d.f. of $\chi^{2}(k)$ is given by
\[\begin{eqnarray} f_{\chi}(x; k) & = & e^{-\frac{0}{2}} \sum_{r=0}^{\infty} \frac{1}{r!} \left( \frac{0}{2} \right)^{r} f_{G}(x; \frac{1}{2}, r + \frac{k}{2}) \nonumber \\ & = & f_{G}(x; \frac{1}{2}, \frac{k}{2}) \nonumber \\ & = & \begin{cases} \frac{1}{\Gamma(k/2)} (\frac{1}{2})^{k/2} x^{\frac{k - 2}{2}} e^{-\frac{x}{2}} & (x > 0) \\ 0 & (x \le 0) \end{cases} \nonumber \end{eqnarray}\]Chi-distribution with $k$ degree of freedom is a special case of gamma distribution.
10. t distribution
$Y$が自由度$n$のカイ2乗分布$\chi(n)$に従い、$Z$が正規分布$\mathrm{N}(\delta, 1)$に従い、$Y,Z$が独立とする。
\[X := \frac{ Z }{ \sqrt{Y/n} }\]の分布を自由度$n$、非心度$\delta$の非心t分布(noncentral t-distritbuion)といい、$t(n, \delta)$とかく。 特に$\delta = 0$のとくt分布といい$t(n)$とかく。
p.d.f of t distribution.
\[\begin{eqnarray} t(n; \delta)(x) & := & \frac{ 1 }{ \sqrt{\pi n} } e^{-\frac{\delta^{2}}{2}} \sum_{r=0}^{\infty} \frac{ 2^{r/2} }{ r! } \frac{ \Gamma((n + r + 1) / 2) }{ \Gamma(n/2) } \left( \frac{ \delta x }{ \sqrt{n} } \right)^{r} \left( 1 + \frac{ x^{2} }{ n } \right)^{ -(n + r + 1)/2 } \nonumber \\ t(n)(x) & := & t(n; 0)(x) \nonumber \\ & = & \frac{ 1 }{ \sqrt{\pi n} } \frac{ \Gamma((n + 1) / 2) }{ \Gamma(n/2) } \left( 1 + \frac{ x^{2} }{ n } \right)^{ -(n + 1)/2 } \nonumber \end{eqnarray}\]11. F distribution $F(m, n, \delta)$
$Y_{1}$が$\chi^{2}(m, \delta)$に\(Y_{2}\)が\(\chi^{2}(n)\)に従い、\(Y_{1}, Y_{2}\)が独立であるとする。 このとき、
\[X := \frac{ Y_{1}/m }{ Y_{2}/n }\]の分布を自由度$m,n$、非心度$\delta$の非心F分布(noncentral F-distribution)といいい、$F(m, n, \delta)$とかく。 特に$\delta=0$のとき、自由度$m, n$のF分布といい、$F(m, n)$とかく。
非心F分布の確率密度関数は$\forall x \in (0, \infty)$に対して、
\[\begin{equation} p_{X}(x; m, n, \delta) := \sum_{r=0}^{\infty} e^{-\frac{1}{2} \delta} \left( \frac{\delta}{2} \right) \frac{ (m/n)^{m/2 + r} }{ r! B(m/2 + r, n/2) } \frac{ x^{m/2 + r -1} }{ (1 + m x / n)^{(m+n)/2 + r} } \label{noncentral_f_distribution_pdf} \end{equation}\]である。 特に、$\delta=0$の場合は$r=0$の項のみ残り、
\[\begin{eqnarray} p_{X}(x; m, n) & := & p_{X}(x; m, n, 0) \nonumber \\ & = & e^{-\frac{1}{2} \delta} \left( \frac{\delta}{2} \right) \frac{ (m/n)^{m/2} }{ B(m/2, n/2) } \frac{ x^{m/2 -1} }{ (1 + m x / n)^{(m+n)/2} } \label{f_distribution_pdf} \end{eqnarray}\]となる。 これが$F$分布の密度関数である。