Hypothesis Test
Definition
推定量といった場合は確率変数。 基本的に添え字なしの$X$, $Y$などは真の分布を表すのに使用する。
- \(X, X_{1}, \ldots, X_{N}\),
- 確率変数
- \(Y, Y_{1}, \ldots, Y_{M}\),
- 確率変数
- \(\displaystyle
\bar{X}_{N}
:=
\sum_{i=1}^{N}
\frac{
X_{i}
}{
N
}\),
- 標本の平均
- 平均の不偏推定量
- \(\displaystyle
V_{N}
:=
\frac{
\sum_{i=1}^{N} (X_{i} - \bar{X}_{N})^{2}
}{
N - 1
}
\label{def_sample_variance}\),
- 分散の不偏推定量
- \(\displaystyle
V_{N}^{S}
:=
\frac{
\sum_{i=1}^{N} (X_{i} - \bar{X}_{N})^{2}
}{
N
}\),
- 標本の分散(標本分散）
$X_{1}, \ldots, X_{N}$が$X$のi.i.dとすれば、以下が成立する。 $N$をsample sizeという。
\[\begin{eqnarray} \mathrm{E}(\bar{X}_{N}) &= & \mathrm{E}(X), \nonumber \\ \mathrm{Var}(\bar{X}_{N}) & = & \frac{ \mathrm{Var}(X) }{ N }, \nonumber \end{eqnarray}\]sample sizeが増えれば標本分散は減る。
Definition ($\chi^{2}$ distribution)
\(X_{i} \sim \mathrm{N}(\mu, \sigma^{2})\)とする。 このとき、
\[V := \sum_{i=1}^{N} X_{i}^{2}\]で定義される$V$を自由度$N$の$\chi_{N}^{2}$分布(chi-squared distribution)という。 つまり、$\chi_{N}^{2}$分布は、正規乱数の$N$個の二乗和である。
Definition (t distribution)
$Z \sim \mathrm{N}(0, 1)$、$U \sim \chi_{N}^{2}$とする。
Statistics
one sample t検定
one sample t testsは、平均値が$\mu_{0}$と等しいかどうかの検定。
paired sample (two sample) t-test for the population mean of paired samples
$X$, $Y$という2つの確率変数が独立で、正規分布に従っているとする。
$\chi^{2}$検定
TBD.
よって、$Z$検定の仮定のもと$\mu$の取る確率を計算できる。