Introduction

Bachelier modelまたはNormal modelとして知られるモデルである。 Black Scholes modelにおいて、増分がlog-normalの分布を持つのに対して、bachelier modelでは増分がnormalの分布を持つ。 積分形で書くと以下で定義される。

\[\begin{equation} S(t) = S_{0} + \int_{0}^{t} \mu \ ds + \int_{0}^{t} \sigma \ dW_{s} \label{bachelier_model_integral_form} \end{equation}\]

微分形でかくと

\[\begin{equation} d S(t) = \mu dt + \sigma dW_{t}, \quad S(0) = S_{0} \label{bacelier_model_differential_form} \end{equation}\]

である。 ここで、$S(t)$は原資産で、$\mu, \sigma, S(0)$は定数で、$S(0), \sigma(0) > 0$とする。 $S(t)$は解析的にとけて、以下の解を持つ。

\[S(t) = S_{0} + \mu t + \sigma W_{t}\]