Chapter01-01 Topological Manifolds
Coordinate Charts
Examples of Topological Manifolds
Example 1.3 (Graphs of Continuous Functions)
Example 1.4 (Sphere)
Exmaple 1.5 (Projective Spaces)
$X^{n} := \mathbb{R}^{n+1} \setminus \{0\}$とおく。 $X^{n}$には、相対位相を入れる。 特に$n=1$のとき$X$とおく。 $X^{n}$上のequivalence $\sim$を以下で定義する。
\[x \sim y \overset{\mathrm{def}}{\iff} \exists \lambda \neq 0 \in \mathbb{R}, y = \lambda x\]$\sim$はequivalenceである。 $\mathbb{RP}^{n} := X^{n} / \sim$をquotinent topological spaces(identification space)とする。 $\mathbb{RP}^{n}$を$n$-dimensional real projective spaceという。
$\mathbb{RP}^{n}$はTopological manifoldである。
proof.
$\mathbb{RP}^{n}$はsecond countableである。 $\pi:X^{n} \rightarrow \mathbb{RP}^{n}$, $\pi(x) := \{ \lambda x \mid \lambda \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \}$, $x \in X^{n}$をquotinent mapとする。 $\pi$はopen mapとなる。 $U \subset X^{n}$をopen in $X^{n}$とし、$pi(U)$がopen in $\mathbb{RP}^{n}$となることを示す。 $\forall \lambda \in \mathbb{R} \{0\}$, $f_{\lambda}:X^{n} \rightarrow X^{n}$, $f_{\lambda}(x) := \lambda x$とする。 $f_{\lambda}$はhomeomorphismである。 $f_{\lambda}$は連続であり、$f_{\lambda}^{-1} = f_{\frac{1}{\lambda}}$より、$f_{\lambda}^{-1}$が存在し連続である。
$\pi^{-1}(\pi(x)) = \{ \lambda x \mid \lambda \in X \} = \cup_{\lambda \in X} \{ f_{\lambda}(x) \}$より、
\[\begin{eqnarray} \pi^{-1}(\pi(U)) & = & \bigcup_{x \in X^{n}} \bigcup_{\lambda \in X} \{ f_{\lambda}(x) \} \nonumber \\ & = & \bigcup_{\lambda \in X} f_{\lambda}(U) \end{eqnarray}\]$f_{\lambda}(U)$はopenなので、左辺は$X^{n}$のopen setである。 よって、$\pi(U)$は$\mathbb{RP}^{n}$のopen setである。
一般に、$X^{n}$がcountable basisを持ち、quotinent mapがopen mapならば、そのquantinent topological spacesもcountable basisを持つ。 \(\{ U_{n} \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{O}_{X^{n}}\)をcountable basisとする。 $O \in \mathbb{RP}^{n}$ in openとすると、$\exists A \subset \mathbb{N}$で、
\[\begin{eqnarray} & & \pi^{-1}(O) = \bigcup_{a \in A} U_{a} \nonumber \end{eqnarray}\]とできる。 よって、$\pi$が全射より、
\[\begin{eqnarray} & & \pi(\pi^{-1}(O)) = \pi \left( \bigcup_{a \in A} U_{a} \right) \nonumber \\ & \Leftrightarrow & O = \bigcup_{a \in A} \pi(U_{a}) \nonumber \end{eqnarray}\]となって、$\{ \pi(U_{n}) \}_{n \in \mathbb{N}}$がcountable basisとなる。 以上より、$\mathbb{RP}^{n}$がcounntable basisを持つので、second countable spaceである。
$\mathbb{RP}^{n}$はHausdorffである。
一般に、位相空間$S$がHausdorffであることと$\{ (x, x) \in S \times S \mid x \in S\}$がclosed in $S \times S$であることは同値である。
また、quotinent mapがopenであれば、商位相空間$X$がHausdorffであることと$\{ (x, y) \in X \times X \mid x \sim y \}$がclosed in $X \times X$であることは同値である。 実際、
Lemma 1.35 (Smooth Manifold Chart Lemma)
- $M$:集合
- \(\{U_{\alpha}\}\): $M$の部分集合の族
- $\phi_{\alpha}:U_{\alpha} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$
以下を満たすとする。
- $\forall \alpha$について \(\phi_{\alpha}\)は\(U_{\alpha}\)から\(\phi_{\alpha}(U_{\alpha})\)への全単射
- $\forall \alpha, \beta$について、$\phi_{\alpha}(U_{\alpha} \cap U_{\beta})$, $\phi_{\beta}(U_{\alpha} \cap U_{\beta})$は開集合
- $U_{\alpha} \cap U_{\beta} \neq \emptyset$ならば、\(\phi_{\beta} \circ \phi_{\alpha}^{-1}:\phi_{\alpha}(U_{\alpha} \cap U_{\beta}) \rightarrow \phi_{\beta}(U_{\alpha} \cap U_{\beta})\)はsmooth
- \(\{ U_{\alpha} \}\)から可算個選ぶと$M$を被覆している
- $p \neq q \in M$とすると以下の一方が成立
- ある$U_{\alpha}$が存在して、\(p, q \in U_{\alpha}\)
- ある\(U_{\alpha}, U_{\beta}\)が存在して、\(U_{\alpha} \cap U_{\beta} = \emptyset\), \(p \in U_{\alpha}\) かつ\(q \in U_{\beta}\)
このとき、$M$は