8 Vanilla Models with Stochastic Volatility I

8.1 Model Definition

8.2 Model Parameters

8.3 Basic Properties

8.4 Fourier Integration

SV modelの精度の良い計算について議論する。 ここでの議論は、Fourier integration methodの応用である。 Lewis[2000], Carr and Madan [1999], Lipton[2002] and Lee[2004]などによる。

8.4.1 General Theory

8.4.3 numerical Implementation

8.4.4 Refinements of Numeriacal Implementation

8.4.5 Fourier Integration for Arbitrary European Payoffs

$f$をpayoffとすると、

\[E(f(S(T))) = \int f(K)\ P(S(T) \in dK)\]

これは、更に(7.5)より

\[\begin{equation} E(f(S(T))) = \int_{-\infty}^{\infty} f(K) \frac{\partial^{2} c(0, S(0); T, K)}{\partial K^{2}} \ dK, \label{chap8_34_expectation_with_pdf} \end{equation}\]

Proposition 8.4.13.

$f(x) \in C^{2}$とする。 満期$T$、payoffが$f$のeuropean optionの価値は、callとputの積分で表現できる。 つまり、以下が$\forall K^{*}$について成立。

\[\begin{equation} E(f(S(T))) = f(K^{*}) + f'(K^{*})(S(0) - K^{*}) + \int_{-\infty}^{K*} p(0, S(0); T, K) f''(K)\ dK + \int_{K*}^{\infty} c(0, S(0); T, K) f''(K)\ dK \label{chap8_35_replication_formula} \end{equation}\]

skecth of proof

簡単のため$S := S(T)$とおくと、

\[\begin{eqnarray} f(S) & = & \int_{-\infty}^{\infty} f(K)\delta(S - K) \ dK \nonumber \\ & = & \int_{-\infty}^{K^{*}} f(K) \delta(S - K) \ dK + \int_{K^{*}}^{\infty} f(K) \delta(S - K) \ dK \nonumber \\ & = & \left[ f(K) 1_{[S, \infty)}(K) \right]_{-\infty}^{K^{*}} - \int_{-\infty}^{K^{*}} f^{\prime}(K) 1_{[S, \infty)}(K)\ dK + \left[ f(K)1_{(-\infty, S]}(K) \right]_{K^{*}}^{\infty} + \int_{K^{*}}^{\infty} f^{\prime}(K)1_{(-\infty, S]}(K)\ dK \nonumber \\ & = & f(K^{*}) 1_{[S, \infty)}(K^{*}) - \int_{-\infty}^{K^{*}} f^{\prime}(K) 1_{[S, \infty)}(K)\ dK + f(K^{*})1_{(-\infty, S]}(K^{*}) + \int_{K^{*}}^{\infty} f^{\prime}(K)1_{(-\infty, S]}(K)\ dK \nonumber \\ & = & f(K^{*}) 1_{[S, \infty)}(K^{*}) + f(K^{*})1_{(-\infty, S]}(K^{*}) - \left[ f^{\prime}(K) (K - S)^{+} \right]_{-\infty}^{K^{*}} + \int_{-\infty}^{K^{*}} f^{\prime\prime}(K) (K - S)^{+}\ dK - \left[ f^{\prime}(K)(S - K)^{+} \right]_{K^{*}}^{\infty} + \int_{K^{*}}^{\infty} f^{\prime\prime}(K)(S - K)^{+}\ dK \nonumber \\ & = & f(K^{*}) - f^{\prime}(K) (K^{*} - S)^{+} + \int_{-\infty}^{K^{*}} f^{\prime\prime}(K) (K - S)^{+}\ dK + f^{\prime}(K)(S - K^{*})^{+} + \int_{K^{*}}^{\infty} f^{\prime\prime}(K)(S - K)^{+}\ dK \nonumber \\ & = & f(K^{*}) + f^{\prime}(K)(S - K^{*}) + \int_{-\infty}^{K^{*}} f^{\prime\prime}(K) (K - S)^{+}\ dK + \int_{K^{*}}^{\infty} f^{\prime\prime}(K)(S - K)^{+}\ dK \end{eqnarray}\]

より、両辺期待値をとると\(\label{chap8_35_replication_formula}\)を得る。

$\Box$