7 Vanilla Models with Local Volatility

7.1 General Framework

7.1.1 Model Dynamics

$$\begin{array}{}\text{(1)}& dS(t)=\lambda \varphi (S(t))dW(t),\end{array}$$

$\lambda$は正の定数で、$\varphi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$はTheorem 1.6.1のような条件を満たすとする。 $S(t)$が非負になる為には、以下の条件を満たす必要がある。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \varphi (0)=1.\end{array}$$

modelの解析のために、必要に応じて$\text{(2)}$を無視する。 $P$をpropability measureとし、${\mathrm{E}}^P$を$\mathrm{E}$と書く。

7.1.2. Volatility Smile and Implied Density

$$\begin{array}{}\text{(3)}& c(t,S(t);T,K)=E_t((S(T))-K{)}^{+})\end{array}$$

である。 strikeと密度関数の関係について以下が知られている。

$$\begin{array}{}\text{(4)}& P(S(T)\in dK)& =& {\frac{{\partial }^{2}c(t,S(t);T,K}{\partial K^2)}|}_{K=\overline{K}}d\overline{K}\text{(5)}& & =& E_t(\delta (S(T)-\overline{K}))d\overline{K}\end{array}$$

Heuristicに計算すると以下のようになる。

$$\begin{array}{rcl}\int f(\tilde{K}){\frac{{\partial }^{2}c(0,S(0);T,K)}{\partial K^2}|}_{K=\tilde{K}}d\tilde{K}& =& \int f(\tilde{K}){\frac{{\partial }^2{E}_t[(S(T)-K{)}^{+}]}{\partial K^2}|}_{K=\tilde{K}}d\tilde{K}\\ & =& E_t[\int f(\tilde{K}){\frac{{\partial }^2(S(T)-K{)}^{+}}{\partial K^2}|}_{K=\tilde{K}}d\tilde{K}]\\ & =& E_t[\int f(\tilde{K})\delta (S(T)-\tilde{K})d\tilde{K}]\\ & =& E_t[f(S(T))]\end{array}$$

この結果は、BreedenとLitzenberger[1978]による。 $S(T)$の周辺分布が$T$満期のcall optionの$K$に対する連続性から得られることを述べている。 option marketでは、call optionとput optionのstrikeへの依存関係ををimplied volatilitesで表現することが一般的である。 具体的には、strike $K$の満期$T$のoption price$c$に対して、$t$でのimplied volatility function ${\sigma }_B(t,S;TK)$を以下の解として定義する。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& c(t,S;T,K)=S\mathrm{\Phi }(d_{+})-K\mathrm{\Phi }(d_{-}),\end{array}$$ $$d_{\pm }:=\frac{\ln \frac{S}{K}\pm \frac{1}{2}{\sigma }_B(t,S;T,K{)}^2(T-t)}{{\sigma }_B(t,S;T,K)\sqrt{T-t}}$$

$\text{(6)}$の右辺は${\sigma }_B(t,S;T,K)$を定数volatilityとしたBlack-Scholes-Merton formulaである。 写像$K\mapsto {\sigma }_B(t,S;T,K)$は$T$-maturity volatility smileとして知られている。 金利のmarketでは、volatility smileは大抵downward-slopingである。 しかし、十分大きな$K$についてvolatilityが増加する傾向も一般的である。 smileが単調に増加、減少し、Uの形状でない場合volatility skewという。 よって、skewをsmileのslopeの意味で用いる。

実際のmarketでは、call optionやput optionの場合はある決まった$K_1,\dots ,K_{N_K}$のstrikeと満期$T_1,\dots ,T_{N_T}$に対してvolatilityがquoteされている。

7.1.3 Choice of $\varphi$