7 Vanilla Models with Local Volatility
7.1 General Framework
7.1.1 Model Dynamics
\[\begin{equation} dS(t) = \lambda \phi(S(t)) dW(t), \label{chap7_1_general_local_volatility} \end{equation}\]$\lambda$は正の定数で、$\phi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$はTheorem 1.6.1のような条件を満たすとする。 $S(t)$が非負になる為には、以下の条件を満たす必要がある。
\[\begin{equation} \phi(0) = 1. \label{chap7_2_non_negative_condition} \end{equation}\]modelの解析のために、必要に応じて\(\eqref{chap7_2_non_negative_condition}\)を無視する。 $P$をpropability measureとし、$\mathrm{E}^{P}$を$\mathrm{E}$と書く。
7.1.2. Volatility Smile and Implied Density
\[\begin{equation} c(t, S(t); T, K) = E_{t} \left( (S(T)) - K)^{+} \right) \label{chap07_3} \end{equation}\]である。 strikeと密度関数の関係について以下が知られている。
\[\begin{eqnarray} P(S(T) \in dK) & = & \left. \frac{\partial^{2} c(t, S(t); T, K}{\partial K^{2})} \right|_{K=\bar{K}} d\bar{K} \label{chap07_5_pdf_by_second_derivative_of_call_option} \\ & = & E_{t}(\delta(S(T) - \bar{K})) d \bar{K} \label{chap07_4} \end{eqnarray}\]Heuristicに計算すると以下のようになる。
\[\begin{eqnarray*} \int f(\tilde{K}) \left. \frac{\partial^{2} c(0, S(0); T, K)}{\partial K^{2}} \right|_{K=\tilde{K}}\ d\tilde{K} & = & \int f(\tilde{K}) \left. \frac{\partial^{2} E_{t}[(S(T) - K)^{+}]}{\partial K^{2}} \right|_{K=\tilde{K}}\ d\tilde{K} \\ & = & E_{t} \left[ \int f(\tilde{K}) \left. \frac{\partial^{2} (S(T) - K)^{+}}{\partial K^{2}} \right|_{K=\tilde{K}}\ d\tilde{K} \right] \\ & = & E_{t} \left[ \int f(\tilde{K}) \delta(S(T) - \tilde{K})\ d\tilde{K} \right] \\ & = & E_{t}[f(S(T))] \end{eqnarray*}\]この結果は、BreedenとLitzenberger[1978]による。 $S(T)$の周辺分布が$T$満期のcall optionの$K$に対する連続性から得られることを述べている。 option marketでは、call optionとput optionのstrikeへの依存関係ををimplied volatilitesで表現することが一般的である。 具体的には、strike $K$の満期$T$のoption price$c$に対して、$t$でのimplied volatility function $\sigma_{B}(t, S; TK)$を以下の解として定義する。
\[\begin{equation} c(t, S; T, K) = S \Phi(d_{+}) - K \Phi(d_{-}), \label{chap07_6_call_option} \end{equation}\] \[d_{\pm} := \frac{ \ln \frac{S}{K} \pm \frac{1}{2}\sigma_{B}(t, S; T, K)^{2}(T - t) }{ \sigma_{B}(t, S; T, K) \sqrt{T - t} }\]\(\eqref{chap07_6_call_option}\)の右辺は$\sigma_{B}(t, S; T, K)$を定数volatilityとしたBlack-Scholes-Merton formulaである。 写像$K \mapsto \sigma_{B}(t, S; T, K)$は$T$-maturity volatility smileとして知られている。 金利のmarketでは、volatility smileは大抵downward-slopingである。 しかし、十分大きな$K$についてvolatilityが増加する傾向も一般的である。 smileが単調に増加、減少し、Uの形状でない場合volatility skewという。 よって、skewをsmileのslopeの意味で用いる。
実際のmarketでは、call optionやput optionの場合はある決まった${K_{1}, \ldots, K_{N_{K}}}$のstrikeと満期${T_{1}, \ldots, T_{N_{T}}}$に対してvolatilityがquoteされている。