capとfloorは非対称なexposureを持つ。 似たようなExposureを持つものとしてEuropean swaptionと呼ばれるswapのoptionがある。 payer swaptionは固定金利を払うfixed-float swapで、receiver swaptionは固定金利を受け取るfixed-float swap
payer swaptionは満期$T_{0}$に以下に等しいpayoffを得る。 （実際はswapが開始されるが、$T_{0}$でのswapの価値を得る)
\[\begin{eqnarray} V_{\mathrm{swaption}}(T_{0}) & = & (V_{\mathrm{swap}}(T_{0}))^{+} \nonumber \\ & = & \left( \sum_{n=0}^{N-1} \tau_{n} P(T_{0}, T_{n+1})(L_{n}(T_{0}) - k) \right)^{+} \label{chap5_10} \end{eqnarray}\] \[\begin{eqnarray} V_{\mathrm{swaption}}(t) & = & \beta(t) \mathrm{E}_{t} \left[ \frac{1}{\beta(T_{0})} V_{\mathrm{swaption}}(T_{0}) \right] \nonumber \\ & = & \beta(t) \mathrm{E}_{t} \left[ \left( \frac{1}{\beta(T_{0})} \sum_{n=0}^{N-1} \tau_{n}P(T_{0}, T_{n+1}) (L_{n}(T_{0}) - k) \right)^{+} \right] \nonumber \end{eqnarray}\]\(\eqref{chap5_6}\)より、以下をの単純な式を得る。
\[\begin{equation} V_{\mathrm{swaption}}(t) = \beta(t) \mathrm{E}_{t} \left[ \frac{1}{\beta(T_{0})}A(T_{0})(S(T_{0}) - k)^{+} \right]. \label{chap5_11} \end{equation}\]更にannuity measure$Q^{A}$にmeasure変換をすると
\[\begin{equation} V_{\mathrm{swaption}}(t) = A(t) \mathrm{E}^{A} \left[ (S(T_{0}) - k)^{+} \right] \label{chap5_12} \end{equation}\]ここで、$S(\cdot)$はforward swap rateで、annuity measureの元でmartingaleである。
ここまで扱ったSwaptionは全て、Phisical settlementのswaptionである。
どちらも場合もpayers swaptionのpayoffは
\[\begin{equation} A(T_{0}) (S(T_{0}) - k)^{+}, \label{chap5_15_payoff_physical_settled_swaption} \end{equation}\]である。 ヨーロッパのマーケットでは、これらと異なるcash settledと呼ばれるswaptionの取引が一般的である。
ここで、
\[a(x) = \sum_{n=0}^{N-1} \frac{\tau_{n}}{\prod_{i=0}^{n}(1 + \tau_{i}x}.\]つまり、payoffはswap rateの関数で支払われる。