4
4.2 Fixed Income Probability Measures
4.2.1 Risk Neutral Measure
4.2.2 $T$-Forward Measure
4.2.3 Spot Measure
4.2.4 Terminal and Hybrid Measures
4.2.5 Swap Measures
4.3 Multi-Currency Markets
4.3.1 Notations and FX Forwards
- $P_{d}(t, T)$
- domestic economyでの$t$のzero coupon bond
- $P_{f}(t, T)$
- foreign economyでの$t$のzero coupon bond
- $X(t)$
- foreign exchange rate
- $t$に外国通貨1単位に対する国内通貨
外国のzero coupon bondを$\tilde{P}_{d}(t, T)$
\[\tilde{P}_{d}(t, T) := X(t)P_{f}(t, t).\] \[X_{T}(t) := \frac{\tilde{P}_{d}(t, T)}{P_{d}(t, T)} = X(t) \frac{P_{f}(t, T)}{P_{d}(t, T)}\]$X_{T}(t)$はforwrad FX rateという。 forward FX rateの由来は以下の裁定取引による。
- 時刻$t$で
- 国内通貨で$\tilde{P}_{d}(t, T)$だけ外国のzero-coupon bondを買う
- 資金
- $-\tilde{P}_{d}(t, T)$
- 資産
- 額面$\tilde{P}{d}(t, T) / (X(t) P{f}(t, T))$の外国のzero-coupon bond
- 資金
- 額面$\tilde{P}{d}(t, T) / P{d}(t, T)$で、国内のzero-coupon bondを売る
- 資金
- $(\tilde{P}{d}(t, T) / P{d}(t, T)) P_{d}(t, T) = \tilde{P}_{d}(t, T)$
- 資産
- 額面$\tilde{P}{d}(t, T) / P{d}(t, T)$国内のzero-coupon bondを空売り
- 資金
- 国内通貨で$\tilde{P}_{d}(t, T)$だけ外国のzero-coupon bondを買う
- 時刻$T$で
- $\tilde{P}{d}(t, T) / (X(t) P{f}(t, T)$を外国通貨で得る
- $\tilde{P}{d}(t, T) / P{d}(t, T)$を国内通貨で払う
- netすると国内通貨で以下を得る
よって、無裁定の下では$X(T) = X_{T}(t)$で、$X_{T}(t)$が$T$で外国通貨1単位得るのに必要な国内通貨になる。
4.3.2 Risk Neutral Measures
- $\beta_{d}(t)$
- 国内のmoney market account
- $Q^{d}$
- 国内のrisk-neutral measure
- $\beta_{f}(t)$
- 外国のmoney market account
- $Q^{f}$
- 外国のrisk-neutral measure
$g(\cdot)$が$T$でforeign currencyでのpayoffとすると、foreign measureの下
\[\begin{equation} V_{f}(t) = \beta_{f}(t) \mathrm{E}_{t}^{f} \left[ \frac{g(T)}{\beta_{f}(T)} \right], \label{chap4_27_value_under_foreign_risk_neutral_measure} \end{equation}\]である。 一方、domestic risk-neutral measureの下では、
\[\begin{equation} V_{d}(t) = \beta_{d}(t) \mathrm{E}_{t}^{d} \left[ \frac{g(T)X(T)}{\beta_{d}(T)} \right] \label{chap4_28_value_under_domestic_risk_neutral_measure} \end{equation}\]である。 無裁定のででは
\[\begin{eqnarray} V_{d}(t) & = & X(t)V_{f}(t) \nonumber \\ \iff \beta_{f}(t)\mathrm{E}_{t}^{d} \left[ \frac{g(T)X(T)}{\beta_{d}(T)} \right] & = & X(t) \beta_{f}(t) \mathrm{E}_{t}^{f} \left[ \frac{g(T)}{\beta_{f}(T)} \right] \label{chap4_29_equation} \end{eqnarray}\]である。
Lemma 4.3.1
\[\mathrm{E}^{d} \left[ \frac{d Q^{f}}{d Q^{d}} \right] = \frac{\beta_{f}(t) X(t)}{\beta_{d}(t) X(0)}, \quad t \ge 0\]sketch of proof
$\mathcal{F}{t}$-measurable variable $Y(T) := g(T) X(T) / \beta{d}(T)$とおくと、$\eqref{chap4_29_equation}$は
\[\mathrm{E}_{t}^{d} \left[ Y(T) \right] = X(t) \frac{\beta_{f}(t)}{\beta_{d}(t)} \mathrm{E}_{t}^{f} \left[ \frac{Y(T)}{X(T)} \frac{\beta_{d}(T)}{\beta_{f}(T)} \right],\]TODO