1. Introduction to Arbitrage Pricing Theory
1.3 Equivalent Martingale Measures and Arbitrage
Theorem 1.3.1 (Radon-Nikodym Theorem)
$P$, $\hat{P}$は確率測度$(\Omega, \mathcal{F})$上の同値な測度とする。 このとき、ある非負確率変数$R$が存在して、$\mathrm{E}^{P}(R) = 1$で、
\[\hat{P}(A) = \mathrm{E}^{P} \left[ R 1_{\{A\}} \right], \forall A \in \mathcal{A}\]を満たす。 $R$は確率$1$で一意である。 また、Radon-Nikodym derivativeとよび
\[\frac{d\hat{P}}{d P} := R,\]とも書く。
sketch of proof
Billingsley [1995]による。
任意の確率測度$\hat{P}$について、以下のdensity processを定義できる。
\[\begin{equation} \zeta(t) := \mathrm{E}_{t}^{P} \left[ \frac{d \hat{P}}{dP} \right], \forall t \in [0, T]. \label{chap1_12_def_density_process} \end{equation}\]明らかに$\zeta(t)$は$P$-マルチンゲールで、$\zeta(0) = 1$で、$\zeta(t) = \mathrm{E}_{t}^{P}(\zeta(T))$を満たす。
\[\begin{eqnarray} \mathrm{E}^{\hat{P}} \left[ Y(T) | \mathcal{F}_{t} \right] & = & \frac{1}{ \mathrm{E}^{P}( R | \mathcal{F}_{t}) } \mathrm{E}^{P} \left[ R Y(T) | \mathcal{F}_{t} \right] \nonumber \\ & = & \frac{1}{\zeta(t)} \mathrm{E}^{P} \left[ \mathrm{E}^{P} \left[ R | \mathcal{F}_{T} \right] Y(T) | \mathcal{F}_{t} \right] \nonumber \\ & = & \mathrm{E}^{P} \left[ \left. Y(T) \frac{\zeta(T)}{\zeta(t)} \right| \mathcal{F}_{t} \right] \end{eqnarray}\]1.5 Girsanov’s Teorem
Equivalent Martingale Measure(EMM)の存在と一意性と無裁定の関係を見てきた。 ここでは、以下について議論する。
- 資産価格が許容するequivalent martingale measureの条件
- measure変換による資産過程への影響
以下では、２つの確率測度の間でのBMの変換を扱う。 $P$, $P(\theta)$の2つのmeasureを扱う。 確率密度として、$\zeta^{\theta} := \mathrm{E}^{P}_{t}(dP(\theta)/dP)$を持つとする。 ここで、$\zeta^{\theta}$はexponential martingaleと呼ばれる以下を満たすIto過程である。
\[\frac{d \zeta^{\theta}(t)}{\zeta^{\theta}(t)} = -\theta(t)^{\mathrm{T}} dW(t),\]ここで$W(t)$は$d$次元の$P$-BMである。 $d$次元の確率過程$\theta$はmarket price of riskとして知られている。 Itoの補題より、
\[\begin{eqnarray} \zeta^{\theta} & = & \exp \left( - \int_{0}^{t} \theta(s)^{\mathrm{T}} \ dW(s) - \frac{1}{2} \int_{0}^{t} \theta(s)^{\mathrm{T}}\theta(s) \ ds \right) \nonumber \\ & =: & \mathcal{E} \left( - \int_{0}^{t} \theta(s)^{\mathrm{T}}\ dW(s) \right) \label{chap1_16_exponential_martingale} \end{eqnarray}\]ここで、$\mathcal{E}$はDoleans exponentialと呼ばれる。
Theorem 1.5.1 (Girsanov’s Theorem)
\(\eqref{chap1_16_exponential_martingale}\)で$\zeta^{\theta}(t)$が定義されているとする。 また、$\theta(t)$はマルチンゲールであるとする。 このとき、$t \in [0, T]$について、
\[W^{\theta}(t) := W(t) + \int_{0}^{t} \theta(s)\ ds\]は$P(\theta)$の下でBMである。
Remark
Girsanovの定理において、$\theta(t)$はマルチンゲールである必要がある。 確率過程がマルチンゲールとなるためには、いくつかの条件が知られているが、以下はNovikov conditionとして知られているものである。
\[\begin{equation} \mathrm{E}^{P} \left[ \exp \left( \frac{1}{2} \int_{0}^{t} \theta(s)^{\mathrm{T}}\theta(s)\ ds \right) \right] < \infty \label{chap1_17_novikov_condition} \end{equation}\]Novikov conditionを満たせば、$\theta(t)$がマルチンゲールとなる。 実務的な応用では、この条件を示すことが難しい場合が多い。
1.8 Kolmogorov’s Equation and the Feynman-Kac Theorem
これまで、derivativeの価格は、ある確率測度の下での期待値ないしPDEの解として表現できることを見てきた。 これは、期待値とPDEに関係があることを示唆している。 後のmodelのCalibrationのために、推移確率密度に関する幾つかの結果をここで述べておく。
以下のMarkov vector SDEを扱う。
\[\begin{equation} dX(t) = \mu(t, X(t)) dt + \sigma(t, X(t)) dW(t), \quad X(0) = X_{0}, \label{chap1_29_markov_vector_sde} \end{equation}\]Therem 1.6.1の解の一意性を満たすように係数に条件をつけておく。 ここで、$g:\mathbb{R}^{d} \rightarrow \mathbb{R}$.
\[u(t, x) := \mathrm{E}^{P} \left[ g(X(T)) | X(t) = x \right],\]$u(t, X(t))$を$u(t)$と書く。
\[du(t) = u_{t}(t) dt + \sum_{i=1}^{p} u_{x_{i}}(t)\mu_{i}(t) dt + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{p} \sum_{j=1}^{p} u_{x_{i}x_{j}}(t)\Sigma_{i,j}(t) dt + O(dW(t)).\]ここで、$\Sigma_{i,j} := \sigma\sigma^{\mathrm{T}}_{i,j}$である。 また、$u(t, X(t))$はマルチンゲールであるから、$dt$の項はゼロである。 よって、
\[\mathcal{A} := \sum_{i=1}^{p} \mu_{i}(t, x) \frac{\partial}{\partial x_{i}} + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{p} \sum_{j=1}^{p} \Sigma_{i,j}(t, x) \frac{\partial^{2}}{\partial x_{i} \partial x_{j}}.\]とおくと、
\[\begin{equation} \frac{\partial u(t,x)}{\partial t} + \mathcal{A} u(t, x) = 0, \label{chap1_30_kolmogorov_backward_equation} \end{equation}\]Kolmogorov backward equationの有用な拡張である、Feyman-Kacに述べてこの節を終える。
\[\begin{equation} \frac{\partial u(t, x)}{\partial t} + \mathcal{A}u(t,x) + h(t, x) = r(t, x)u(t,x), \label{chap1_34_feyman_kac_pde} \end{equation}\]ここで、$h, r:[0, T] \times \mathbb{R}^{p} \rightarrow \mathbb{R}$である。 また、境界条件は$u(T, x) = g(x)$である。 このPDEの解は以下で与えられる。
\[\begin{equation} u(t, x) = \mathrm{E}^{p} \left[ \psi(t, T) g(X(T)) + \int_{t}^{T} \psi(t, s)h(s, X(s)) \ ds | X(t) = x \right] \label{chap1_35_feyman_kac_solution} \end{equation}\]ここで、
\[\psi(t, T) = \exp \left( - \int_{t}^{T} r(s, X(s))\ ds \right), \quad t \in [0, T].\]